高中数学导数知识点归纳总结材料及例题

由天下分享时间：2025/3/20 0:50:31 加入收藏我要投稿点赞

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导数

考试内容：

导数的背影．导数的概念．多项式函数的导数．利用导数研究函数的单调性和极值．函数的最大值和最小值．考试要求：（1）了解导数概念的某些实际背景．（2）理解导数的几何意义．（3）掌握函数，y=c(c为常数)、y=xn(n∈N+)的导数公式，会求多项式函数的导数．（4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值．（5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值．

§14. 导数知识要点

1. 导数（导函数的简称）的定义：设0x是函数)(xfy?定义域的一点，如果自变量x在0x处有增量x?，则函数值y也引起相应的增量)()(00xfxxfy?????；比值xxfxxfxy???????)()(00称为函数)(xfy?在点0x到xx??0之间的平均变化率；如果极限xxfxxfxyxx???????????)()(limlim0000存在，则称函数)(xfy?在点0x处可导，并把这个极限叫做)(xfy?在0x处的导数，记作)(0'xf或|'xxy?，即)(0'xf=xxfxxfxyxx???????????)()(limlim0000. 注：①x?是增量，我们也称为“改变量”，因为x?可正，可负，但不为零.

②以知函数)(xfy?定义域为A，)('xfy?的定义域为B，则A与B关系为BA?. 2. 函数)(xfy?在点0x处连续与点0x处可导的关系：

⑴函数)(xfy?在点0x处连续是)(xfy?在点0x处可导的必要不充分条件. 可以证明，如果)(xfy?在点0x处可导，那么)(xfy?点0x处连续. 事实上，令xxx???0，则0xx?相当于0??x.

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文案大全于是)]()()([lim)(lim)(lim0000000xfxfxxfxxfxfxxxx????????????

).()(0)()(limlim)()(lim)]()()([lim000'0000000000xfxfxfxfxxfxxfxfxxxfxxfxxxx???????????????????????????⑵如果)(xfy?点0x处连续，那么)(xfy?在点0x处可导，是不成立的. 例：||)(xxf?

在点00?x处连续，但在点00?x 处不可导，因为xxxy?????||，当x?＞0 时，1???xy；当x?＜0 时，1????xy ，故xyx????0lim不存在. 注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.②可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 3. 导数的几何意义：

函数)(xfy?在点0x处的导数的几何意义就是曲线)(xfy?在点))(,(0xfx处的切线的斜率，也就是说，曲线)(xfy?在点P))(,(0xfx处的切线的斜率是)(0'xf，切线方程为).)((0'0xxxfyy??? 4. 求导数的四则运算法则：

''')(vuvu???)(...)()()(...)()(''2'1'21xfxfxfyxfxfxfynn?????????? ''''''')()(cvcvvccvuvvuuv??????（c为常数） )0(2'''?????????vvuvvuvu 注：①vu,必须是可导函数.

②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；

5. 复合函数的求导法则：)()())(('''xufxfx???或xuxuyy'''?? 复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形. 6. 函数单调性：

⑴函数单调性的判定方法：设函数)(xfy?在某个区间内可导，如果)('xf＞0，则)(xfy?为增函数；如果)('xf＜0，则)(xfy?为减函数. ⑵常数的判定方法；

如果函数)(xfy?在区间I内恒有)('xf=0，则)(xfy?为常数. 注：①0)(?xf是f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如32xy?在),(????上并不是都有0)(?xf，有一个点例外即x=0时f（x） = 0，同样0)(?xf是f（x）递减的充分非必要条件. ②一般地，如果f（x）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f（x）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的. 7. 极值的判别方法：（极值是在0x附近所有的点，都有)(xf＜)(0xf，则)(0xf是函数)(xf

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文案大全的极大值，极小值同理）

当函数)(xf在点0x处连续时，

①如果在0x附近的左侧)('xf＞0，右侧)('xf＜0，那么)(0xf是极大值； ②如果在0x附近的左侧)('xf＜0，右侧)('xf＞0，那么)(0xf是极小值.

也就是说0x是极值点的充分条件是0x点两侧导数异号，而不是)('xf=0①. 此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点②. 当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.

注①：若点0x是可导函数)(xf的极值点，则)('xf=0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点0x是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零. 例如：函数3)(xxfy??，0?x使)('xf=0，但0?x不是极值点.

②例如：函数||)(xxfy??，在点0?x处不可导，但点0?x是函数的极小值点.

8. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.注：函数的极值点一定有意义. 9. 几种常见的函数导数： I.0'?C（C为常数） xxcos)(sin'?

1')(??nnnxx（Rn?） xxsin)(cos'??

2'11)(arcsinxx?? 2'11)(arccosxx???

II. xx1)(ln'? exxaalog1)(log'?

11)(arctan2'???xee?')( aaaxxln)('?