9.8 空间向量在空间几何体的运用（二）
一．两条异面直线所成角的求法 1.几何法
（1）定义：已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，所成的角的大小与点的选择无关，把所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角（或夹角） （2）图示
2.向量法：设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则
范围 l1与l2所成的角θ a与b的夹角β [0，π] ?0，π? ??2??|a·b|cos θ＝ |a||b|求法 a·bcos β＝ |a||b|
二．直线与平面所成角的求法 1.几何法
（1）线面角的定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角 （2）图示
2.向量法：设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，a与n的夹角
1
|a·n|
为β，则sin θ＝|cos β|＝.
|a||n|三．求二面角的大小 1.几何法
（1）定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 （2）图示
2.向量法
→→
(1)如图①，AB，CD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB，CD〉．
(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)．
考向一 线线角
【例1】如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.
2
(1)证明：平面AEC⊥平面AFC；
(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值． 【答案】见证明
【解析】(1)证明 如图所示，连结BD，设BD∩AC＝G，连结EG，FG，EF. 在菱形ABCD中，不妨设GB＝1. 由∠ABC＝120°， 可得AG＝GC＝3.
由BE⊥平面ABCD，AB＝BC＝2，可知AE＝EC. 又AE⊥EC，所以EG＝3，且EG⊥AC.
2. 2
在Rt△EBG中，可得BE＝2，故DF＝
在Rt△FDG中，可得FG＝
6. 2
232222，可得EF＝，从而EG＋FG＝EF，所以EG⊥FG. 22
在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝2，DF＝
又AC∩FG＝G，AC，FG?平面AFC， 所以EG⊥平面AFC.
因为EG?平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC.
→
(2)如图，以G为坐标原点，分别以GB，GC所在直线为x轴、y轴，|GB|为单位长度，建立空间直角坐标系
3
20届高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题9.8 空间向量在空间几何体的运用(二)(解析版)
