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重点强化课(一) 函数的图象与性质
[复习导读] 函数是中学数学的核心概念，函数的图象与性质既是中学数学教学的重点，又是高考考查的重点与热点，题型以选择题、填空题为主，既重视三基，又注重思想方法的考查，备考时，要透彻理解函数，尤其是分段函数的概念，切实掌握函数的性质，并加强函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想的应用意识．
重点1 函数图象的应用
?1?cos πx，x∈?0，?，???2?
已知f(x)为偶函数，当x≥0时，f(x)＝?
?1，＋∞?，
2x－1，x∈?2?????
1
等式f(x－1)≤的解集为( ) 【导学号：】
2
则不
?12??47?A.?，?∪?，? ?43??34?
1??12??3
B.?－，－?∪?，?
3??43??4
?13??47?C.?，?∪?，?
?34??34?
1??13??3
D.?－，－?∪?，?
3??34??4
A [画出函数f(x)的图象，如图，
1111
当0≤x≤时，令f(x)＝cos πx≤，解得≤x≤；
22321113
当x＞时，令f(x)＝2x－1≤，解得＜x≤，
222413故有≤x≤.
34
1??13?11?3因为f(x)是偶函数，所以f(x)≤的解集为?－，－?∪?，?，故f(x－1)≤的解集
3??34?22?4
?12??47?为?，?∪?，?.]
?43??34?
[迁移探究1] 在本例条件下，若关于x的方程f(x)＝k有2个不同的实数解，求实数
k的取值范围．
[解] 由函数f(x)的图象(图略)可知，当k＝0或k>1时，方程f(x)＝k有2个不同的实数解，即实数k的取值范围是k＝0或k>1.15分
[迁移探究2] 在本例条件下，若函数y＝f(x)－k|x|恰有两个零点，求实数k的取值范围．
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[解] 函数y＝f(x)－k|x|恰有两个零点，即函数y＝f(x)的图象与y＝k|x|的图象恰有两个交点，借助函数图象(图略)可知k≥2或k＝0，即实数k的取值范围为k＝0或k≥2.15分
[规律方法] 1.利用函数的图象研究函数的性质，一定要注意其对应关系，如：图象的左右范围对应定义域，上下范围对应值域，上升、下降趋势对应单调性，对称性对应奇偶性．
2．有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数图象的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值或范围．
3．有关不等式的问题常常转化为两个函数图象的上、下关系来解．
[对点训练1] 已知函数y＝f(x)的图象是圆x＋y＝2上的两段弧，如图1所示，则不等式f(x)>f(－x)－2x的解集是________．
图1
(－1,0)∪(1，2] [由图象可知，函数f(x)为奇函数，
故原不等式可等价转化为f(x)>－x，在同一直角坐标系中分别画出y＝f(x)与y＝－x的图象，由图象可知不等式的解集为(－1,0)∪(1，2]．]
重点2 函数性质的综合应用
?角度1 单调性与奇偶性结合
(1)(2017·绍兴市质检(二))下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调
递增的是( )
1
A．y＝
2
2
xB．y＝lg x
C．y＝|x|－1
?1?|x|
D．y＝??
?2?
(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足
f(2|a－1|)>f(－2)，则a的取值范围是( )
1??A.?－∞，? 2??
1??3??B.?－∞，?∪?，＋∞? 2??2??
?13?C.?，?
?22??3?D.?，＋∞? ?2?
1
(1)C (2)C [(1)函数y＝是奇函数，排除A；函数y＝lg x既不是奇函数，也不是偶
x?1?|x|?1?x函数，排除B；当x∈(0，＋∞)时，函数y＝??＝??单调递减，排除D；函数y＝|x|－
?2??2?
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1是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，故选C.
(2)因为f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，所以f(－x)＝
f(x)，且f(x)在(0，＋∞)上单调递减．由f(2|a－1|)＞f(－2)，f(－2)＝f(2)可得2|a－1|
113
＜2，即|a－1|＜，所以＜a＜.]
222?角度2 奇偶性与周期性结合
(2017·嘉兴适应性考试(二))若函数f(x)＝asin 2x＋btan x＋1，
且f(－3)＝5，则f(π＋3)＝________. 【导学号：】
－3 [令g(x)＝asin 2x＋btan x，则g(x)是奇函数，且最小正周期是π，由f(－3)＝g(－3)＋1＝5，得g(－3)＝4，则g(3)＝－g(－3)＝－4，则f(π＋3)＝g(π＋3)＋1＝
g(3)＋1＝－4＋1＝－3.]
?角度3 单调性、奇偶性与周期性结合
已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是
增函数，则( )
A．f(－25)＜f(11)＜f(80) B．f(80)＜f(11)＜f(－25) C．f(11)＜f(80)＜f(－25) D．f(－25)＜f(80)＜f(11)
D [因为f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，
所以f(x－8)＝f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，
f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．
由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．
因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数， 所以f(x)在区间[－2,2]上是增函数，
所以f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－25)＜f(80)＜f(11)．] [规律方法] 函数性质综合应用问题的常见类型及解题方法
(1)函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．
(2)周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
(3)周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．
重点3 函数图象与性质的综合应用
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??x＋2，x＞a，
(1)(2017·温州二检)已知函数f(x)＝?2
?x＋5x＋2，x≤a，?
函数g(x)＝f(x)
－2x恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是( )
A．[－1,1) C．[－2,2)
??2－1，x≤0，
(2)已知函数f(x)＝?
?fx－1，x＞0，?
－xB．[0,2] D．[－1,2)
若方程f(x)＝x＋a有且只有两个不相等的
实数根，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，0] C．(－∞，1)
B．[0,1) D．[0，＋∞)
??2－x，x＞a，
(1)D (2)C [(1)由题意知g(x)＝?2
?x＋3x＋2，x≤a.?
因为g(x)有三个不同的零点，
所以2－x＝0在x＞a时有一个解．由x＝2，得a＜2. 由x＋3x＋2＝0，得x＝－1或x＝－2， 由x≤a，得a≥－1.
综上，a的取值范围为[－1,2)．
??2－1，x≤0，
(2)函数f(x)＝?
?fx－1，x＞0?
－x2
的图象如图所示，
当a<1时，函数y＝f(x)的图象与函数f(x)＝x＋a的图象有两个交点，即方程f(x)＝x＋a有且只有两个不相等的实数根．]
[规律方法] 解决分段函数与函数零点的综合问题的关键在于“对号入座”，即根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解零点，注意取值范围内的大前提，以及函数性质和数形结合在判断零点个数时的强大功能．
[对点训练2] (2017·杭州一模)已知函数y＝f(x＋2)的图象关于直线x＝－2对称，
?1?且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝|log2x|，若a＝f(－3)，b＝f??，c＝f(2)，则a，b，c的
?4?
大小关系是( )
A．a＞b＞c C．c＞a＞b
B．b＞a＞c D．a＞c＞b B [由函数y＝f(x＋2)的图象关于直线x＝－2对称，得函数y＝f(x)的图象关于y轴
?1?对称，即y＝f(x)是偶函数．当x∈(0,1)时，f(x)＝f??＝|log2x|，且x∈[1，＋∞)时，x??
f(x)＝log2x单调递增，又a＝f(－3)＝f(3)，b＝f??＝f(4)，所以b＞a＞c，故选B.]
4
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?1???
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A组 基础达标 (建议用时：30分钟)
一、选择题
1．设函数f(x)为偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x，则f(－2)＝( )
【导学号：】
1
A．－
2C．2
1B. 2D．－2
1
B [因为函数f(x)是偶函数，所以f(－2)＝f(2)＝log22＝.] 2
2．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x＋x＋1，则f(1)＋g(1)＝( )
A．－3 C．1
B．－1 D．3
3
2
3
2
C [用“－x”代替“x”，得f(－x)－g(－x)＝(－x)＋(－x)＋1，化简得f(x)＋g(x)＝－x＋x＋1，令x＝1，得f(1)＋g(1)＝1，故选C.]
1x3．函数f(x)＝3＋x－2的零点所在的一个区间是( )
2A．(－2，－1) C．(0,1)
B．(－1,0) D．(1,2)
3
2
C [因为函数f(x)在定义域上单调递增， 26－2
又f(－2)＝3－1－2＝－＜0，
9
f(－1)＝3－1－－2＝－＜0， f(0)＝30＋0－2＝－1＜0，
f(1)＝3＋－2＝＞0，所以f(0)·f(1)＜0，
所以函数f(x)的零点所在区间是(0,1)．]
4．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a1
满足f(log2a)＋f(loga)≤2f(1)，则a的取值范围是( )
2
A．[1,2]
12
32
12136
?1?B.?0，? ?2?
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高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用重点强化课1函数的图象与性质教师用书
