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重点强化课(一) 函数的图象与性质
[复习导读] 函数是中学数学的核心概念,函数的图象与性质既是中学数学教学的重点,又是高考考查的重点与热点,题型以选择题、填空题为主,既重视三基,又注重思想方法的考查,备考时,要透彻理解函数,尤其是分段函数的概念,切实掌握函数的性质,并加强函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想的应用意识.
重点1 函数图象的应用
?1?cos πx,x∈?0,?,???2?
已知f(x)为偶函数,当x≥0时,f(x)=?
?1,+∞?,
2x-1,x∈?2?????
1
等式f(x-1)≤的解集为( ) 【导学号:】
2
则不
?12??47?A.?,?∪?,? ?43??34?
1??12??3
B.?-,-?∪?,?
3??43??4
?13??47?C.?,?∪?,?
?34??34?
1??13??3
D.?-,-?∪?,?
3??34??4
A [画出函数f(x)的图象,如图,
1111
当0≤x≤时,令f(x)=cos πx≤,解得≤x≤;
22321113
当x>时,令f(x)=2x-1≤,解得<x≤,
222413故有≤x≤.
34
1??13?11?3因为f(x)是偶函数,所以f(x)≤的解集为?-,-?∪?,?,故f(x-1)≤的解集
3??34?22?4
?12??47?为?,?∪?,?.]
?43??34?
[迁移探究1] 在本例条件下,若关于x的方程f(x)=k有2个不同的实数解,求实数
k的取值范围.
[解] 由函数f(x)的图象(图略)可知,当k=0或k>1时,方程f(x)=k有2个不同的实数解,即实数k的取值范围是k=0或k>1.15分
[迁移探究2] 在本例条件下,若函数y=f(x)-k|x|恰有两个零点,求实数k的取值范围.
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[解] 函数y=f(x)-k|x|恰有两个零点,即函数y=f(x)的图象与y=k|x|的图象恰有两个交点,借助函数图象(图略)可知k≥2或k=0,即实数k的取值范围为k=0或k≥2.15分
[规律方法] 1.利用函数的图象研究函数的性质,一定要注意其对应关系,如:图象的左右范围对应定义域,上下范围对应值域,上升、下降趋势对应单调性,对称性对应奇偶性.
2.有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数图象的交点个数;利用此法也可由解的个数求参数值或范围.
3.有关不等式的问题常常转化为两个函数图象的上、下关系来解.
[对点训练1] 已知函数y=f(x)的图象是圆x+y=2上的两段弧,如图1所示,则不等式f(x)>f(-x)-2x的解集是________.
图1
(-1,0)∪(1,2] [由图象可知,函数f(x)为奇函数,
故原不等式可等价转化为f(x)>-x,在同一直角坐标系中分别画出y=f(x)与y=-x的图象,由图象可知不等式的解集为(-1,0)∪(1,2].]
重点2 函数性质的综合应用
?角度1 单调性与奇偶性结合
(1)(2017·绍兴市质检(二))下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调
递增的是( )
1
A.y=
2
2
xB.y=lg x
C.y=|x|-1
?1?|x|
D.y=??
?2?
(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a满足
f(2|a-1|)>f(-2),则a的取值范围是( )
1??A.?-∞,? 2??
1??3??B.?-∞,?∪?,+∞? 2??2??
?13?C.?,?
?22??3?D.?,+∞? ?2?
1
(1)C (2)C [(1)函数y=是奇函数,排除A;函数y=lg x既不是奇函数,也不是偶
x?1?|x|?1?x函数,排除B;当x∈(0,+∞)时,函数y=??=??单调递减,排除D;函数y=|x|-
?2??2?
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1是偶函数,且在(0,+∞)上单调递增,故选C.
(2)因为f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增,所以f(-x)=
f(x),且f(x)在(0,+∞)上单调递减.由f(2|a-1|)>f(-2),f(-2)=f(2)可得2|a-1|
113
<2,即|a-1|<,所以<a<.]
222?角度2 奇偶性与周期性结合
(2017·嘉兴适应性考试(二))若函数f(x)=asin 2x+btan x+1,
且f(-3)=5,则f(π+3)=________. 【导学号:】
-3 [令g(x)=asin 2x+btan x,则g(x)是奇函数,且最小正周期是π,由f(-3)=g(-3)+1=5,得g(-3)=4,则g(3)=-g(-3)=-4,则f(π+3)=g(π+3)+1=
g(3)+1=-4+1=-3.]
?角度3 单调性、奇偶性与周期性结合
已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是
增函数,则( )
A.f(-25)<f(11)<f(80) B.f(80)<f(11)<f(-25) C.f(11)<f(80)<f(-25) D.f(-25)<f(80)<f(11)
D [因为f(x)满足f(x-4)=-f(x),
所以f(x-8)=f(x),所以函数f(x)是以8为周期的周期函数,则f(-25)=f(-1),
f(80)=f(0),f(11)=f(3).
由f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x-4)=-f(x),得f(11)=f(3)=-f(-1)=f(1).
因为f(x)在区间[0,2]上是增函数,f(x)在R上是奇函数, 所以f(x)在区间[-2,2]上是增函数,
所以f(-1)<f(0)<f(1),即f(-25)<f(80)<f(11).] [规律方法] 函数性质综合应用问题的常见类型及解题方法
(1)函数单调性与奇偶性结合.注意函数单调性及奇偶性的定义,以及奇、偶函数图象的对称性.
(2)周期性与奇偶性结合.此类问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行交换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.
(3)周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间,然后利用奇偶性和单调性求解.
重点3 函数图象与性质的综合应用
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??x+2,x>a,
(1)(2017·温州二检)已知函数f(x)=?2
?x+5x+2,x≤a,?
函数g(x)=f(x)
-2x恰有三个不同的零点,则实数a的取值范围是( )
A.[-1,1) C.[-2,2)
??2-1,x≤0,
(2)已知函数f(x)=?
?fx-1,x>0,?
-xB.[0,2] D.[-1,2)
若方程f(x)=x+a有且只有两个不相等的
实数根,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,0] C.(-∞,1)
B.[0,1) D.[0,+∞)
??2-x,x>a,
(1)D (2)C [(1)由题意知g(x)=?2
?x+3x+2,x≤a.?
因为g(x)有三个不同的零点,
所以2-x=0在x>a时有一个解.由x=2,得a<2. 由x+3x+2=0,得x=-1或x=-2, 由x≤a,得a≥-1.
综上,a的取值范围为[-1,2).
??2-1,x≤0,
(2)函数f(x)=?
?fx-1,x>0?
-x2
的图象如图所示,
当a<1时,函数y=f(x)的图象与函数f(x)=x+a的图象有两个交点,即方程f(x)=x+a有且只有两个不相等的实数根.]
[规律方法] 解决分段函数与函数零点的综合问题的关键在于“对号入座”,即根据分段函数中自变量取值范围的界定,代入相应的解析式求解零点,注意取值范围内的大前提,以及函数性质和数形结合在判断零点个数时的强大功能.
[对点训练2] (2017·杭州一模)已知函数y=f(x+2)的图象关于直线x=-2对称,
?1?且当x∈(0,+∞)时,f(x)=|log2x|,若a=f(-3),b=f??,c=f(2),则a,b,c的
?4?
大小关系是( )
A.a>b>c C.c>a>b
B.b>a>c D.a>c>b B [由函数y=f(x+2)的图象关于直线x=-2对称,得函数y=f(x)的图象关于y轴
?1?对称,即y=f(x)是偶函数.当x∈(0,1)时,f(x)=f??=|log2x|,且x∈[1,+∞)时,x??
f(x)=log2x单调递增,又a=f(-3)=f(3),b=f??=f(4),所以b>a>c,故选B.]
4
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?1???
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A组 基础达标 (建议用时:30分钟)
一、选择题
1.设函数f(x)为偶函数,当x∈(0,+∞)时,f(x)=log2x,则f(-2)=( )
【导学号:】
1
A.-
2C.2
1B. 2D.-2
1
B [因为函数f(x)是偶函数,所以f(-2)=f(2)=log22=.] 2
2.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x+x+1,则f(1)+g(1)=( )
A.-3 C.1
B.-1 D.3
3
2
3
2
C [用“-x”代替“x”,得f(-x)-g(-x)=(-x)+(-x)+1,化简得f(x)+g(x)=-x+x+1,令x=1,得f(1)+g(1)=1,故选C.]
1x3.函数f(x)=3+x-2的零点所在的一个区间是( )
2A.(-2,-1) C.(0,1)
B.(-1,0) D.(1,2)
3
2
C [因为函数f(x)在定义域上单调递增, 26-2
又f(-2)=3-1-2=-<0,
9
f(-1)=3-1--2=-<0, f(0)=30+0-2=-1<0,
f(1)=3+-2=>0,所以f(0)·f(1)<0,
所以函数f(x)的零点所在区间是(0,1).]
4.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增.若实数a1
满足f(log2a)+f(loga)≤2f(1),则a的取值范围是( )
2
A.[1,2]
12
32
12136
?1?B.?0,? ?2?
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