分数阶微分方程block-by-block算法的最优阶收敛性分
析?
王自强, 曹俊英?
【摘 要】摘 要:经典的block-by-block方法是求解积分方程的一种高效的数值方法.研究者们已经把经典的block-by-block方法成功地用在构造非线性分数阶常微分方程的高阶数值格式上，对该格式的收敛性分析也已经有了初步的结果.但数值实验的结果表明目前的理论分析仍未达到最优阶误差估计.本文将利用Taylor公式和积分中值定理对非线性分数阶常微分方程的block-by-block方法的收敛性进行细致的分析，对其获得了最优阶误差估计，最后通过数值算例验证了理论分析的正确性. 【期刊名称】工程数学学报 【年(卷),期】2015(000)004 【总页数】13
【关键词】关键词:分数阶微分方程；block-by-block算法；收敛性分析；caputo导数
【文献来源】https://www.zhangqiaokeyan.com/academic-journal-cn_chinese-journal-engineering-mathematics_thesis/0201211809433.html
1 引言
形如u(t)=f(t,u(t))的分数阶常微分方程(FODEs)经常出现在许多实际应用问题中，这里α>0,是分数阶微分算子.p-block-by-block方法是一个对积分方程的线性多步法[1]，这个方法导出了一个在m+1个步长块上，有p个未知量,,···,.1985年，Linz[2]对非线性Volterra积分方程首先提出blockby-block
方法，2006年，Kumar和Agrawal[3]把block-by-block方法应用到求解FODEs的一组初值问题，数值例子显示了此算法的稳定性，遗憾的是没有给出该算法的收敛性分析.2012年，Huang等人[4]证明了此方法的收敛阶至少是3阶，但是该文的数值例子显示了该算法的最优收敛阶：当0<α≤1时，收敛阶为3+阶；当α>1时，收敛阶为4阶.因此，本文利用文献[5]的技巧通过对误差估计进行精细估计，对该算法的最优收敛阶给出严格证明.
2 Block-by-block算法的构造
我们考虑如下分数阶常微分方程 满足下面初值条件
这里n是正整数，是分数阶导数的阶数，且满足n?1<α≤n,u(k)(t)是u的k阶导数，,k=0,1,···,n?1为已知函数.方程(1)中的0Dαtu(t)为阶caputo分数阶导数[6]，定义为
其中Γ(·)表示Gamma函数.
对于初值问题(1)和(2)，假设解是连续的，文献[7]证明它和下面的Volterra积分方程是等价的
由Kumar和Agrawal[3]构造的block-by-block方法为：把区间[0,T]分成2N个等分的子区间，设tj=j?t,j=0,1,···,2N，其中?t=.u(t)在点tj上的数值解记为uj，并记
假设已经构造出uj,j=0,1,···,2m，我们希望逼近和，则对m=1,2,···,N ? 1，有 这里φi,k(t),i=0,1,2,k=0,1,···,m ? 1和(t),i=0,1,2，分别是定义在点和上的二次拉格朗日基函数.
利用二次拉格朗日插值，的逼近式为
将(6)代入到(5)，我们得到下面的格式为 其中
为了计算，我们使用下面的逼近 这就是第2m+2步的数值格式
其中是定义在点上的二次拉格朗日基函数.
结合(7)和(12)，对m=1,2,···,N ?1，block-by-block算法如下
下面我们将给出格式(14)的收敛性分析.首先给出格式(14)的局部截断误差估计.
3 截断误差的估计
现在，我们将对格式(14)的截断误差做一个精细估计.首先，我们估计奇数层的局部截断误差.我们定义2m+1层的截断误差为 这里是的一个逼近.将精确解代入(7)，得 因此，对于，有如下的估计.
引理1 设是(15)中定义的截断误差，设f(·,u(·))∈ .因此，当0<α≤1时，有 当α>1时，有
证明 结合(5),(7)和(16)，我们有
利用Taylor定理，对于所有的，存在ξk(τ)，使得 和对于所有的τ∈，存在ξ1(τ),ξ(τ)∈，使得 因此，我们有
下面，我们开始逐项估计(17)的右端项.我们将第一项记为1，有 其中=.由(18)右端的第一项，我们得 其中
分数阶微分方程block-by-block算法的最优阶收敛性分析
