线面平行证明的常用方法 张磊
立体几何在高考解答题中每年是必考内容，必有一个证明题；重点考察：平行与垂直（线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直等），我们现在对线面平行这一方面作如下探讨： 方法一：中位线型：找平行线。
例1、如图⑴，在底面为平行四边形的四棱锥P?ABCD中，点E是PD的中点.求证：PB//平面AEC. O_ D 分析： P A D E C A B E B G _ A_ N_ C_ D_ MF O E C _ B如图⑴ 如图⑵ 如图⑶ 方法二：构造平行四边形，找平行线 AE//平面DCF.
分析：过点E作EG//AD交FC于G， DG就是平面AEGD 与平面DCF的交线，那么只要证明AE//DG即可。
例2、如图⑵, 平行四边形ABCD和梯形BEFC所在平面相交，BE//CF，求证：
方法三：作辅助面使两个平面是平行, 即：作平行平面，使得过所证直线作与已
知平面平行的平面 例3、如图⑷，在四棱锥O?ABCD中，底面ABCD为菱形， M为OA的中点，N为BC的中点，证明：直线MN‖平面OCD
分析：：取OB中点E，连接ME，NE，只需证平面MEN平面OCD。 方法四：利用平行线分线段成比例定理的逆定理证线线平行。
例4、已知正方形ABCD和正方形ABEF所在的平面相交于AB，点M，N分别在AC和BF上，且AM=FN. z 求证：MN‖平面BCE. S
E
F
F N B C
C y D M A D A E B
如图⑷ 如图⑸ 如图⑹
例5．如图⑸，已知三棱锥Ｐ—ＡＢＣ，Ａ′，B′，C′是△PBC,△PCA,△PAB的重心.
(1)求证：Ａ′Ｂ′∥面ＡＢＣ； (2)求S△A′B′C′：S△ABC .
方法五：（向量法）所证直线与已知平面的法向量垂直，关键：建立空间坐标系
（或找空间一组基底）及平面的法向量。
例6、如图⑹，在四棱锥S?ABCD中，底面ABCD为正方形，
，E，F分别为AB，SC的中点．证明EF∥平面侧棱SD⊥底面ABCDSAD；
分析：因为侧棱SD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，所以很容易建立空间直角坐标系及相应的点的坐标。
证明：如图，建立空间直角坐标系D?xyz．
设A(a， 0，0)，S(0，0，b)，则B(a，a，0)，C(0，a，0)，?a?E?a，，0?，F2???????bEF???a，0，2???ab??0，，?， ?22???． ?因为y轴垂直与平面SAD，故可设平面的法向 量为n=（0，1，0）
??????b则：EF?n???a，0，2??=0 （?0，1，0）???????因此 EF?n
所以EF∥平面SAD．
线面平行证明的常用方法
