2-5 系统状态方程的线性变换
2-5-1 系统状态空间表达式的非唯一性
系统动态方程建立，无论是从实际物理系统出发，还是从系统方块图出发，还是从系统微分方程或传递函数出发，在状态变量的选取方面都带有很大的人为的随意性，因而求得的系统的状态方程也有很大的人为因素，很大的随意性，因此会得出不同的系统状态方程。实际物理系统虽然结构不可能变化，但不同的状态变量取法就产生不同的动态方程；系统方块图在取状态变量之前需要进行等效变换，而等效变换过程就有很大程度上的随意性，因此会产生一定程度上的结构差异，这也会导致动态方程差异的产生；从系统微分方程或传递函数出发的系统实现问题，更是会导致迥然不同的系统内部结构的产生，因而也肯定产生不同的动态方程。所以说系统动态方程是非唯一的。
虽然同一实际物理系统，或者同一方块图，或同一传递函数所产生的动态方程各种各样，其独立的状态变量的个数是相同的，而且各种不同动态方程间也是有一定联系的，这种联系就是变量间的线性变换关系。 设给定的系统为：
??Ax?Bu,x?0??x0xy?Cx?Du
作线性变换：x?Tz 即z?T?1x
T--为非奇异矩阵（变换矩阵）
??T?1ATz?T?1Bu， z?0??T?1x?0??T?1x0 则：zy?CTz?Du
因为T为任意非奇异矩阵，所以状态空间表达式为非唯一的。
2-5-2系统特征值的不变性及系统的不变量 1． 系统特征值
??Ax?Bux
y?Cx?Du29 / 11
特征方程：?I?A?0
系统特征值即为特征方程的根。
2． 系统的不变量与特征值的不变性 系统经非奇异变换后，其特征值是不变的。 证明：系统经非奇异变换后，得
??T?1ATz?T?1Bu zy?CTz?Du
其特征方程为：
?I?T?1AT??T?1T?T?1AT?T?1?T?T?1AT?T?1??I?A?T?T?1?I?AT?TT?I?A??I?A?1
所以，特征值是不变的。
因为 ?I?A??n?an?1?n?1???a1??a0?0 所以，a0,a1,?
3．特征矢量
an?2,an?1是不变的，为系统的不变量。
?i为标量，是A的特征值
若Api??ipi，即矢量pi（n维）经A线性变换后，方向不变，仅长度变化?i倍，称pi为A对应于?i的特征矢量。
1?1??0?的特征矢量 ?6?116例：求A???????6?115??30 / 11
解：
?6?1111?6??3?6?2?11??6????1????2????3??0
?I?A?6??11??5?1??1，?2??2， ?3??3
设对应于?1??1的特征矢量为p1，则 Ap1??1p1
1?1??p11???p11??0??6?116??p????p? ???21??21????6?115????p31?????p31???p21?p31??p11?p21?0??6p?11p?6p??p? ??11213121?p11?p31??6p?11p?5p??p11213131??1?? 0令p11?p31?1 ?p1??????1???1?? 2同理可求出对应于?2??2，p2??????4???1?? 6对应于?3??3，p2??????9??
2-5-3状态空间表达式变换为约旦标准型
??Ax?Bu?x??y?Cx?Dux?Tz????z??T?1ATz?T?1Bu?z??Jz?T?1Bu?? ??y?CTz?Du?y?CTz?Du?I?A?0?特征值
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第2章(4)-控制系统的状态空间表达式
