（1）(?x)(?A(x)?B(x))，(?x)?B(x)?(?x)A(x) 证明： （1）
（2） （3） （4） （5） （6）
(?x)(?A(x)?B(x))
P US，（1） P US，（3） T，（2），（4）， EG，（5）
?A(a)?B(a) (?x)?B(x) ?B(a) A(a)
(?x)A(x)
（2）(?x)A(x)?(?x)B(x)?(?x)(A(x)?B(x))
证明： （1） ?(?x)(A(x)?B(x)) P（假设前提） （2） (?x)(?(A(x)?B(x))) T （3） (?x)(A(x)??B(x)) T （4） (?x)A(x)?(?x)?B(x) T （5） (?x)A(x) T （6） (?x)?B(x) T （7） (?x)A(x)?(?x)B(x) P
（8） (?x)B(x) T（5）（7） （9） ?B(a) ES（6） （10） B(a) US（8） （11） ?B(a)?B(a) T（9）（10） （12） (?x)(A(x)?B(x)) F（1）（11）
（3）(?x)(A(x)?B(x))，(?x)(C(x)??B(x))?(?x)(C(x)??A(x)) 证明： （1）
?(?x)(C(x)??A(x))
P（假设前提）
（2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9）
(?x)?(?C(x)??A(x))
C(a)?A(a)
T，（1） US，（2） T，（3） T，（3） P US，（6） T，（5），（7） P US，（8） T，（4），（10） T，（8），（11）
C(a) A(a)
(?x)(A(x)?B(x)) A(a)?B(a) B(a)
(?x)(C(x)??B(x))
（10） C(a)??B(a) （11） ?B(a)
（12） B(a)??B(a)
（4）(?x)(A(x)?B(x)),(?x)(B(x)??C(x)),(?x)C(x)?(?x)A(x) 证明： （1） (?x)C(x) P （2） C(x) US（1） （3） (?x)(B(x)??C(x)) P （4） B(x)??C(x) US（3） （5） ?B(x) T（2）（4） （6） (?x)(A(x)?B(x)) P （7） A(x)?B(x) US（6） （8） A(x) T（5）（7） （9） (?x)A(x) UG（8） 2.用CP规则证明下列各式。
（1）(?x)(P(x)?Q(x))?(?x)P(x)?(?x)Q(x)
证明： （1） (?x)P(x) P（假设前提） （2） P(x) US（1） （3） (?x)(P(x)?Q(x)) P （4） P(x)?Q(x) US（3） （5） Q(x) T（2）（4） （6） (?x)Q(x) UG（5） （7） (?x)P(x)?(?x)Q(x) CP（1）（6） （2）(?x)(P(x)?Q(x))?(?x)P(x)?(?x)Q(x)
证明：由于(?x)P(x)?(?x)Q(x)??(?x)(?Q(x))?(?x)P(x)
?(?x)(?Q(x))?(?x)P(x)
因此，原题等价于证明(?x)(P(x)?Q(x))?(?x)(?Q(x))?(?x)P(x) （1） (?x)(?Q(x)) P（假设前提） （2） ?Q(x) US（1） （3） (?x)(P(x)?Q(x)) P （4） P(x)?Q(x) US（3） （5） P(x) T（2）（4） （6） (?x)P(x) UG（5） （7） (?x)(?Q(x))?(?x)P(x) CP（1）（6）
3.将下列命题符号化并推证其结论。
（1）所有的有理数是实数，某些有理数是整数，因此某些实数是整数。 解：首先定义如下谓词：
P(x):x是有理数 R(x):x是实数 I(x):x是整数
于是问题符号化为：
(?x)(P(x)?R(x)),(?x)(P(x)?I(x))?(?x)(R(x)?I(x))
推理如下：
（1） (?x)(P(x)?I(x)) P （2） P(a)?I(a) ES（1）
（3） (?x)(P(x)?R(x)) P （4） P(a)?R(a) US（3）
（5） P(a) T（2） （6） I(a) T（2） （7） R(a) T（4）（5） （8） R(a)?I(a) T（6）（7）
（9） (?x)(R(x)?I(x)) EG（8）
（2）任何人如果他喜欢步行，他就不喜欢乘汽车，每一个人或者喜欢乘汽车或者喜欢骑自行车，有的人不爱骑自行车，因而有的人不爱步行。 解：首先定义如下谓词：
P(x):x是人 F(x):x喜欢步行 C(x):x喜欢乘汽车 B(x):x喜欢骑自行车
于是问题符号化为：
(?x)(P(x)?F(x)??C(x)),(?x)(P(x)?C(x)?B(x)),
(?x)(P(x)??B(x))?(?x)(P(x)??F(x))推理如下：
（1） (?x)(P(x)??B(x)) P （2） P(a)??B(a) ES（1） （3） P(a) T（2）
（4） ?B(a) T（2） （5） (?x)(P(x)?C(x)? （6） P(a)?C(a)? （7） C(a)?B(x)) P
B(a) US（5）
B(a) T（3）（6）
（8） C(a) T（4）（7） （9） (?x)(P(x)?F(x)??C(x)) P
（10） P(a)?F(a)??C(a) US（9） F(a)) T（8）（10）
（11） ?(P(a)?（12） ?P(a)??F(a) T（11） （13） ?F(a) T（3）（12） （14） P(a)??F(a) T（3）（13） （15） (?x)(P(x)??F(x)) EG（14）
（3）每个科学工作者都是刻苦钻研的，每个刻苦钻研而且聪明的科学工作者在他的事业中
都将获得成功。华为是科学工作者并且他是聪明的，所以，华为在他的事业中将获得成功。 解：首先定义如下谓词：
P(x):x是科学工作者 Q(x):x是刻苦钻研的 R(x):x是聪明的
S(x):x在他的事业中将获得成功
定义个体a：华为 于是命题符号化为：
(?x)(P(x)?Q(x)),(?x)(P(x)?Q(x)?R(x)?S(x)),
P(a)?R(a)?S(a)推理如下：
（1） (?x)(P(x)?Q(x)) P （2） P(a)?Q(a) US（1）
离散数学答案陈志奎
