第1章 命题逻辑
P7 习题
1. 给出下列命题的否定命题： （1）大连的每条街道都临海。
否命题：不是大连的每条街道都临海。 （2）每一个素数都是奇数。
否命题： 并非每一个素数都是奇数。 2. 对下述命题用中文写出语句： （1）(?P?R)?Q 如果非P与R，那么Q。 （2）Q?R Q并且R。
3. 给出命题P?Q，我们把Q?P、?P??Q、?Q??P分别称为命题P?Q的逆命题、反命题、逆反命题。
（1）如果天不下雨，我将去公园。
解：逆命题：如果我去公园，则天不下雨； 反命题：如果天下雨，则我不去公园；
逆反命题：如果我不去公园，则天下雨了。 （2）仅当你去我才逗留。
解：（此题注意：p仅当q翻译成p?q） 逆命题：如果你去，那么我逗留。 反命题：如果我不逗留，那么你没去。 逆反命题：如果你没去，那么我不逗留。 （3）如果n是大于2的正整数，那么方程x解：逆命题：如果方程xnn?yn?zn无整数解。
?yn?zn无整数解，那么n是大于2的正整数。
n 反命题：如果n不是大于2的正整数，那么方程x 逆反命题：如果方程xn?yn?zn有整数解。
?yn?zn有整数解，那么n不是大于2的正整数。
（4）如果我不获得更多的帮助，那么我不能完成这项任务。
解：逆命题：如果我不完成任务，那么我不获得更多的帮助。 反命题：如果我获得了更多的帮助，那么我能完成任务。 逆反命题：如果我能完成任务，那么我获得了更多的帮助。 4. 给P和Q指派真值T，给R和S指派真值F，求出下列命题的真值。 （1）(?(P?Q??R)?((Q??P)?(R??S)))
=(?(T?T??F)?((T??T)?(F??F))) =?T?(F?T) =T?F =T
（2）Q?(P?Q)?P
=T?(T?T)?T =T?T?T =T?T =T
（3）(P?(Q?(R??P)))?(Q??S)
=(T?(T?(F??T)))?(T??F) =(T?(T?F))?T =T?T =T
（4）(P?R)?(?Q?S)
=(T?F)?(?T?F) =F?(F?F)
=F
5. 构成下来公式的真值表： （1）Q?(P?Q)?P
P F F T T
（2）?(P?Q?R)?(P?Q)?(P?R) P F F Q F F R F T Q F T F T Q?(P?Q) F T F T Q?(P?Q)?P T F T T ?(P?Q?R) (P?Q)?(P?R) ?(P?Q?R)?(P?Q)?(P?R) T T F F F F F F T T T T
T T F F T T F T F T F T T F F F F F F T T T T T F F F F F F （3）(P?Q?Q?P)?P??R P F F F F T T T T
（4）?(P?P??Q?R)?Q??R P F F F F T T T T 6. 使用真值表证明：如果P?Q为T，那么P?Q和Q?P都是T，反之亦然。 证明： P F F T T Q F T F T Q F F T T F F T T R F T F T F T F T Q F F T T F F T T R F T F T F T F T (P?Q?Q?P) P??R (P?Q?Q?P)?P??R T T F F F F T T F F F F T F T F F F T T T T T F ?(P?P??Q?R) T F T F T F F F ?(P?P??Q?R)?Q??R T F T F T F T F P?Q T F F T P?Q T T F T Q?P T F T T 由上表可知：当P?Q为T时，P?Q和Q?P都是T；P?Q和Q?P为T时，
P?Q为T。故命题得证。
7. 使用真值表证明：对于P和Q的所有值，P?Q与?P?Q有同样的真值。
P F F T T Q F T F T P?Q T T F T ?P?Q T T F T 8. 一个有两个运算对象的逻辑运算符，如果颠倒其运算对象的次序，产生一逻辑等价命题，则称此逻辑运算符是可交换的。
（1）确定所给出的逻辑运算符哪些是可交换的：?，?，?，?。 （2）用真值表证明你的判断。 解：（1）?，?，?是可交换的。 （2）真值表如下： P F F T T 9.设?是具有两个运算对象的逻辑运算符，如果(x?y)?z和x?(y?z)逻辑等价，那么运算符?是可结合的。
（1）确定逻辑运算符?，?，?，?哪些是可结合的？ （2）用真值表证明你的判断。 解：（1）?,?,?是可结合的。 （2）真值表如下： P F F F F T T T T Q F F T T F F T T R F T F T F T F T Q F T F T P?Q Q?P P?Q Q?P P?Q Q?P P?Q Q?P F F F T F F F T F T T T F T T T T T F T T F T T T F F T T F F T (P?Q)?R F F F F F F F T (P?Q)?R F T T T T T T T (P?Q)?R F T F T T T F T (P?Q)?R T T T F T F F T P F F F F T T T T
Q F F T T F F T T R F T F T F T F T P?(Q?R) F F F F F F F T P?(Q?R) F T T T T T T T P?(Q?R) T T T T T T F T P?(Q?R) T T T F T F F T 10. 令P表示命题“苹果是添的”，Q表示命题“苹果是红的”，R表示命题“我买苹果”。试将下列命题符号化：
（1）如果苹果甜而红，那么我买苹果。 （2）苹果不是甜的。
（3）我没买苹果，因为苹果不红也不甜。 解：（1）P?Q?R （2）?P
（3）?R??P??Q
P15 习题
1. 指出下面命题公式哪些是重言式、永假式或可满足式。 解：
（1）重言式
P??P?T
（2）永假式
P??P?F
（3）重言式
P??(?P)?T
（4）重言式
?(P?Q)?(?P??Q)?(?P??Q)?(?P??Q)?T
（5）重言式
?(P?Q)?(?P??Q)?(?P??Q)?(?P??Q)?T
（6）重言式
(P?Q)?(?Q??P)
离散数学答案陈志奎
