课题：研究性学习课题：复数与平面向量的联系
教学目的：
. 理解复数与从原点出发的向量的对应关系 . 了解复数加减法运算的几何意义 教学重点：复数与从原点出发的向量的对应关系． 教学难点：复数加减法运算的几何意义 授课类型：新授课 课时安排：课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：
一、复习引入：
.若A(x,y)，O(0,0)，则OA??x,y?
. 若a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，则a?b?(x1?x2,y1?y2)，
a?b?(x1?x2,y1?y2)
两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差 . 若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则AB??x2?x1,y2?y1?
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标 即 ABOB?OA( , )? () (? , ? ) .复平面、实轴、虚轴：复数(、∈)与有序实数对(，)是一一对应关系这是因为对于任何一个复数(、∈)，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(，)惟一确定，如可以由有序实数对(，)确定，又如－可以由有序实数对(－，)来确定；又因为有序实数对(，)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，如有序实
y数对(，)它与平面直角坐标系中的点，横坐标为，纵Z(a，b)b坐标为，建立了一一对应的关系 由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系.
点的横坐标是，纵坐标是，复数(、∈)可用点(，)
oxa表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫
做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴 实轴上的点都表示实数 对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(，)， 它所确定的复数
是表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 在复平面内的原点(，)表示实数，实轴上的点(，)表示实数，虚轴上的点(，－)表示纯虚数－，虚轴上的点(，)表示纯虚数 非纯虚数对应的点在四个象限，例如点(－，)表示的复数是－，－－对应的点(－，－)在第三象限等等.
复数集和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即
?复平面内的点Z(a,b) 复数z?a?bi????这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一
个点，有惟一的一个复数和它对应.
这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法. .复数的加(减)法 ()±()(±)(±).
与多项式加(减)法是类似的.就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加(减). 二、讲解新课：
一一对应?平面向量OZ １．复平面内的点Z(a,b)?????平面向量OZ . 复数z?a?bi????.复数加法的几何意义：
设复数，，在复平面上所对应的向量为OZ1、OZ2，
即OZ1、邻边作平
一一对应一一对应OZ2的坐标形式为OZ1(，)，OZ2(，)以OZ1、OZ2为
行四边形，则对角线对应的向量是OZ，
∴OZOZ1OZ2(，)(，)(，)＝()()
. 复数减法的几何意义：复数减法是加法的逆运算，设(－)(－)，所以－，，由复数加法几何意义，以OZ为一条对角线，OZ1为一条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边所表示的向量OZ2就与复数－的差(－)(－)对应由于OZ2?Z1Z，所以，两个
复数的差－与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.
三、讲解范例：
例已知复数，在复平面内对应的点分别为、，求AB对应的复数，在平面内所对应的点在第几象限？
解：－()－()－，
∵的实部－＜，虚部＞，
∴复数在复平面内对应的点在第二象限内. 点评：任何向量所对应的复数，总是这个向量的终点所对应的复数减去始点所对应的复数所得的差. 即AB所表示的复数是－. ，而BA所表示的复数是－，故切不可把被减数与减数搞错尽管向量AB的位置可以不同，只要它们的终点与始点所对应的复数的差
相同，那么向量AB所对应的复数是惟一的，因此我们将复平面上的向量称之自由向量，即它只与其方向和长度有关，而与位置无关 例 复数，－，－－，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数.
分析一：利用AD?BC，求点的对应复数.
解法一：设复数、、所对应的点为、、，正方形的第四个顶点对应的复数为(，∈)，是：
AD?OD?OA()－()(－)(－); BC?OC?OB(－－)－(－)－.
∵AD?∴?BC，即(－)(－)－，
例图 ?x?1?1,?x?2,解得?
?y?2??3,?y??1.故点对应的复数为－.
分析二：利用原点正好是正方形的中心来解.
解法二：因为点与点关于原点对称，所以原点为正方形的中心，于是(－) ()，∴，－.
故点对应的复数为－.
点评：根据题意画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用 四、课堂练习：
.已知复数－()－(2a－)(∈)分别对应向量OZ1、OZ2（为原点），若向量Z1Z2对应的复数为纯虚数，求的值.
解：Z1Z2对应的复数为－，则 －－(2a－)－［－()］(－)(－)
∵－是纯虚数
2??a?a?2?0∴? 解得－.
2??a?a?6?0．已知复平面上正方形的三个顶点是（，）、（－，）、（－，－），求它的第四个顶点对
应的复数.
解：设（),则
AD?OD?OA对应的复数为()－()(－)(－) BC?OC?OB对应的复数为：(－－)－(－)－
∵AD?BC∴(－)(－)－ ∴??x?1?1?x?2,解得?
?y?2??3?y??1∴点对应的复数为－ 五、小结 ：复数加法的几何意义：如果复数，分别对应于向量OP1、OP2，那么，以、为两边作平行四边形，对角线表示的向量OS就是的和所对应的向量复数减法的几何意义：两个复数的差－与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.
六、课后作业：
七、板书设计（略） 八、课后记：
学习是一件增长知识的工作，在茫茫的学海中，或许我们困苦过，在艰难的竞争中，或许我们疲劳过，在失败的阴影中，或许我们失望过。但我们发现自己的知识在慢慢的增长，从哑哑学语的婴儿到无所不能的青年时，这种奇妙而巨大的变化怎能不让我们感到骄傲而自豪呢？当我们在学习中遇到困难而艰难的战胜时，当我们在漫长的奋斗后成功时，那种无与伦比的感受又有谁能表达出来呢？因此学习更是一件愉快的事情，只要我们用另一种心态去体会，就会发现有学习的日子真好！ 如果你热爱读书，那你就会从书籍中得到灵魂的慰藉；从书中找到生活的榜样；从书中找到自己生活的乐趣；并从中不断地发现自己，提升自己，从而超越自己。 明天会更好，相信自己没错的！ 我们一定要说积极向上的话。只要持续使用非常积极的话语，就能积累起相关的重要信息，于是在不经意之间，我们就已经行动起来，并且逐渐把说过的话变成现实。
复数与平面向量的联系教案 人教课标版(优秀教案)
