用构造法求数列的通项公式
上海外国语大学嘉定外国语实验学校 徐红洁
在高中数学教材中，有很多已知等差数列的首项、公比或公差(或者通过计算可以求出数列的首项,公比),来求数列的通项公式。但实际上有些数列并不是等差、等比数列,给出数列的首项和递推公式,要求出数列的通项公式。而这些题目往往可以用构造法，根据递推公式构造出一个新数列，从而间接地求出原数列的通项公式。对于不同的递推公式，我们当然可以采用不同的方法构造不同的类型的新数列。下面给出几种我们常见的构造新数列的方法：
一．利用倒数关系构造数列。
11??4(n?N),求an 例如：数列{an}中，若a1?2,an?1an1,则bn?1?bn+4, 设bn?an即bn?1?bn＝４， ?{bn｝是等差数列。
可以通过等差数列的通项公式求出bn,然再求后数列{ an }的通项。
11,(n?N),求an 练习：1)数列{ an }中，an≠0，且满足a1?,an?1?12?3an2)数列{ an }中，a1?1,an?1?2an,求an通项公式。 an?23)数列{ an }中,a1?1,an?0,且an?2an?an?1?an?1?0(n?2,n?N),求an. 二．构造形如bn?an的数列。
例：正数数列{ an }中，若a1?5,an?1?an?4(n?N),求an 解：设bn?an,则bn?1?bn?4,即bn?1?bn??4
2222数列{bn}是等差数列，公差是?4，b1?a1?25
2?bn?25?(n?1)?(?4)?29?4n即an?29?4n?an?29?4n,(1?n?7,n?N)2
练习：已知正数数列{ an }中，a1?2,an?2an?1(n?2,n?N), 求数列{ an }的通项公式。 三．构造形如bn?lgan的数列。 例：正数数列{ an }中，若a1=10,且lgan?解：由题意得：即
bn1?, bn?121lgan?1,(n?2,n?N),求an. 2lgan1?，?可设bn?lgan， lgan?12 1
1?bn是等比数列，公比为，b1?lg10?1
211?bn?1?()n?1?()n?1,(n?N).
22()n?11n?1即lgan?(),?an?102
21练习：（选自2002年高考上海卷）
2数列{ an }中，若a1=3,an?1?an,n是正整数，求数列{ an }的通项公式。 四．构造形如bn?an?m的数列。 例：数列{ an }中，若a1=6,an+1=2an+1, 求数列{ an }的通项公式。 解：an+1+1=2a n+2, 即an+1+1=2（an+1） 设 bn= an+1, 则bn = 2 bn-1
则数列{ bn }是等比数列，公比是2,首项b１= a１+1＝7, ?bn?7?2n?1,即an?1?7?2n?1
?an?7?2n?1?1，(n?N)
构造此种数列，往往它的递推公式形如：
an?1?c?an?d,(c?1)和Sn?an?n?2的形式。
如：an+1＝c an+d,设可化成an+1+x=c(an+x),
an+1=c an+(c-1)x
用待定系数法得： (c-1)x＝d
d∴ x=.
c?1又如：Ｓn+an=n+2, 则 Ｓn-1+an-1=n+1,
二式相减得：Ｓn－Ｓn-1 +a n－a n-1 =１，即a n +a n－a n-1 =１，
∴ 2 an－an-1=１，
11an =an-1+.
221如上提到bn = an ＋d = an –1
c?1练习：1.数列{ an }满足an+1=3an+2, 求an
2.数列{ an }满足Ｓn+an=2n+1,求an 五．构造形如bn?an?1?an的数列。
例：数列{ an }中，若a1=１，a２=3,an+2 + 4 an+1 - 5an=0 (n?N),求an。
解： an+2 + 4 an+1 - 5an=0得： an+2 － an+1 = - 5（an＋１ － an ） 设bn = an＋１ －an，
则数列{ bn }是等比数列，公比是-5,首项b１= a2- a1＝2,
∴an＋１ －an=2?(-5)n-1
即a２ －a１=2?(-5) a３ －a２=2?(-5)２ a４ －a３=2?(-5)３
┄
an －an－１=2?(-5)n-2
以上各式相加得：an －a１=2?［（-5）＋(-5)２＋(-5)３＋┄＋（-5）n-1］
2
n?11?（?5）即：an －a１=2?
1?(?5)4?(?5)n?11?(?5)n?1?an?1?，即an?，（n?N)
33当递推公式中，an＋１与an的系数相同时，我们可构造bn = an＋１ －an，然后用叠加法得：b1+b2+b3+b4+┄+bn = an-a1
通过求出数列｛bn｝前n-1项和的方法，求出数列{ an }的通项公式。 1) 当递推公式中形如:
an+1=a n+an+b ; an+1=a n+qn(q≠1) ; an+1=a n+qn +an+b 等情形时， 可以构造bn = an＋１－an ,得: bn = an+b； bn = qn; bn =qn +an+b。 求出数列前n-1项的和Tn-1,
a(n?1)n Tn-1=?(n?1)b;
2q(1?qn?1)Tn-1=；
1?qq(1?qn?1)a(n?1)nTn-1=+?(n?1)b
1?q2a(n?1)n即： an －a１=?(n?1)b;
2q(1?qn?1)an －a１=;
1?qq(1?qn?1)a(n?1)n an －a１= ?(n?1)b+
1?q2a(n?1)n从而求出 an =a１+?(n?1)b;
2q(1?qn?1)an= a１+;
1?qq(1?qn?1)a(n?1)nan =a１+。 ?(n?1)b+
1?q22）当递推公式中形如:
111an+1=a n+；an+1=a n+；an+1=a n+等情形
（2n?1）(2n?1)n(n?1)n?n?1111可以构造bn = an＋１－an ,得:：bn =；bn =；bn =
（2n?1）(2n?1)n(n?1)n?n?111111?)；bn =n?1?n 即bn =?；bn =(nn?122n?12n?1从而求出求出数列前n-1项的和Tn-1,
111)；Tn-1=n?1 Tn-1=1?；Tn-1=(1?n22n?11即： an －a１=1?;
n11); an －a１=(1?22n?1 3
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