第1讲 等差数列、等比数列
专题复习检测
A卷
1．(2018年天津南开区三模)若数列{an}中，a1＝3，an＋an－1＝4(n≥2)，则a2 018＝( ) A．3 C．－3 【答案】B
2．设数列{an}，{bn}都是等差数列且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37等于( ) A．0 C．100 【答案】C
3．已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝x·31
A． 31C． 2【答案】C
4．(2019年陕西西安模拟)公差不为零的等差数列{an}中，a7＝2a5，则数列{an}中与4a5
的值相等的是( )
A．a8 C．a10 【答案】D
【解析】设等差数列{an}的公差为d，∵a7＝2a5，∴a1＋6d＝2(a1＋4d)，则a1＝－2d.∴
B．a9 D．a11
n－1
B．1 D．4
B．37 D．－37
1
－，则x的值为( ) 6
1
B．－
31D．－ 2
an＝a1＋(n－1)d＝(n－3)d，则4a5＝4(a1＋4d)＝4(－2d＋4d)＝8d＝a11.故选D．
5．(2018年安徽合肥二模)中国古代数学有着很多令人惊叹的成就，北宋沈括在《梦溪笔谈》卷十八《技艺》篇中首创隙积术，即：将木桶一层层堆放成坛状，最上一层长有a个，宽有b个，共计ab个木桶，每一层长宽各比上一层多一个，共堆放n层，设最底层长有c个，宽有d个，则共计有木桶
n[?2a＋c?b＋?2c＋a?d＋?d－b?]
6
个．假设最上层有长2宽1共2个木
桶，每一层的长宽各比上一层多一个，共堆放15层，则木桶的个数为( )
A．1 260 C．1 430 【答案】B
【解析】根据题意可知a＝2，b＝1，n＝15，则c＝2＋14＝16，d＝1＋14＝15，代入题
B．1 360 D．1 530
15×?20＋34×15＋14?
中所给的公式，可计算出木桶的个数为＝1 360.
6
6．等比数列{an}的首项a1＝－1，前n项和为Sn，若1
【答案】－ 2【解析】由
S1031
＝，则公比q＝________. S532
S1031S10－S51＝，a1＝－1，知公比q≠1，＝－.由等比数列前n项和的性质知S532S532
1
32
12
S5，S10－S5，S15－S10成等比数列且公比为q5，故q5＝－，q＝－. 7．(2019年湖南怀化一模)已知f(x)＝(x－4)＋x－1，{an}是公差不为0的等差数列，
3
f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a9)＝27，则f(a5)的值为________．
【答案】3
【解析】∵f(x)＝(x－4)＋x－1，∴f(x)－3＝(x－4)＋x－4＝g(x－4)．令x－4＝t，可得g(t)＝t＋t为奇函数且单调递增．{an}是公差不为0的等差数列，∴a1＋a9＝a2＋a8＝a3＋a7＝a4＋a6＝2a5.∵f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a9)＝27，∴g(a1)＋g(a2)＋…＋g(a9)＝0，∴g(a5)＝0，则f(a5)＝g(a5)＋3＝3.
8．(2018年福建福州模拟)设等差数列{an}的公差d≠0，且a2＝－d.若ak是a6与ak＋6的等比中项，则k＝________.
【答案】9
【解析】∵ak是a6与ak＋6的等比中项，
∴ak＝a6ak＋6.又等差数列{an}的公差d≠0，且a2＝－d，
∴[a2＋(k－2)d]＝(a2＋4d)[a2＋(k＋4)d]，化简得(k－3)＝3(k＋3)，解得k＝9或k＝0(舍去)．
9．在等比数列{an}中，a2＝3，a5＝81. (1)求an；
(2)设bn＝log3an，求数列{bn}的前n项和Sn. 【解析】(1)设{an}的公比为q，依题意得
??a1q＝3，?4??a1q＝81，
2
2
2
3
3
3
解得?
??a1＝1，??q＝3.
因此an＝3
n－1
.
(2)因为bn＝log3an＝n－1， 所以数列{bn}的前n项和Sn＝
n?b1＋bn?n2－n2
＝2
. 2
10．(2019年广西河池模拟)已知数列{an}的前n项和Sn＝－2n＋n＋2. (1)求{an}的通项公式； (2)判断{an}是否为等差数列．
【解析】(1)∵Sn＝－2n＋n＋2，
∴当n≥2时，Sn－1＝－2(n－1)＋(n－1)＋2＝－2n＋5n－1. ∴an＝Sn－Sn－1＝(－2n＋n＋2)－(－2n＋5n－1)＝－4n＋3. 又a1＝S1＝1，不满足an＝－4n＋3，
??1，n＝1，
∴数列{an}的通项公式是an＝?
??－4n＋3，n≥2.
2
2
2
2
2
(2)由(1)知，当n≥2时，an＋1－an＝[－4(n＋1)＋3]－(－4n＋3)＝－4， 但a2－a1＝－5－1＝－6≠－4，
∴{an}不满足等差数列的定义，{an}不是等差数列．
B卷
11．(2019年江西南昌模拟)在各项均为正数的等比数列{an}中，(a1＋a3)(a5＋a7)＝4a4，则下列结论中正确的是( )
A．数列{an}是递增数列 B．数列{an}是递减数列 C．数列{an}是常数列
D．数列{an}有可能是递增数列也有可能是递减数列 【答案】C
【解析】各项均为正数的等比数列{an}中，因为(a1＋a3)(a5＋a7)＝4a4成立，即a1a5＋a1a7
＋a3a5＋a3a7＝4a4成立．利用等比数列的定义和性质化简可得a3＋a4＋a4＋a5＝4a4，进一步化简得a3＋a5＝2a4.设公比为q，则得a1q＋a1q＝2a1q，化简可得1＋q＝2q，即(q－1)＝0，所以q＝1，故q＝1(由于各项均为正数的等比数列，故q＝－1舍去)．故此等比数列是常数列．故选C．
12．(2019年辽宁沈阳一模)已知数列{an}的首项a1＝m，其前n项和为Sn，且满足Sn＋Sn＋1
22
2
2
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28
26
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＝3n＋2n，若对任意n∈N，an 2* ?15?【答案】?－，? ?44? 【解析】当n＝1时，2a1＋a2＝5.因为a1＝m，所以a2＝5－2m.当n≥2时，Sn－1＋Sn＝3(n－1)＋2(n－1)，和已知两式相减得an＋an＋1＝6n－1①，即an－1＋an＝6n－7②，①－②得an＋1－an－1＝6(n≥3)，所以数列{an}的偶数项成等差数列，奇数项从第三项起是等差数列，a3＝6＋2m，a2k＝a2＋6(k－1)＝5－2m＋6k－6＝6k－2m－1，a2k＋1＝a3＋6(k－1)＝6＋2m＋6(k－1)5* ＝6k＋2m.若对任意n∈N，an 3 2 2 51 ?6k＋2m<6k－2m＋5?m<.当n＝2k时，a2k ??m的取值范围是?－，?. 44 ? ? 13．(2018年上海)给定无穷数列{an}，若无穷数列{bn}满足：对任意n∈N，都有|bn－ * 15 an|≤1，则称{bn}与{an}“接近”． 1* (1)设{an}是首项为1，公比为的等比数列，bn＝an＋1＋1，n∈N，判断数列{bn}是否与{an} 2接近，并说明理由； (2)设数列{an}的前四项为a1＝1，a2＝2，a3＝4，a4＝8，{bn}是一个与{an}接近的数列，记集合M＝{x|x＝bi，i＝1,2,3,4}，求M中元素的个数m； (3)已知{an}是公差为d的等差数列，若存在数列{bn}满足：{bn}与{an}接近，且在b2－b1， b3－b2，…，b201－b200中至少有100个为正数，求d的取值范围． 【答案】【解析】(1)数列{bn}与{an}接近，理由如下： 1 ∵{an}是首项为1，公比为的等比数列， 211 ∴an＝n－1，bn＝an＋1＋1＝n＋1. 22 1?1?1* ∴|bn－an|＝?n＋1－n－1?＝1－n＜1，n∈N. 2?2?2∴数列{bn}与{an}接近． (2)∵{bn}与{an}接近，∴an－1≤bn≤an＋1. ∵a1＝1，a2＝2，a3＝4，a4＝8，∴b1∈[0,2]，b2∈[1,3]，b3∈[3,5]，b4∈[7,9]． 可能b1与b2相等，b2与b3相等，但b1与b3不相等，b3与b4不相等， 集合M＝{x|x＝bi，i＝1,2,3,4}，M中元素的个数m＝3或4. (3)依题意，得an＝a1＋(n－1)d. ①若d＞0，取bn＝an，得bn＋1－bn＝an＋1－an＝d＞0， 则b2－b1，b3－b2，…，b201－b200中有200个正数，符合题意； 1111??1* ②若d＝0，取bn＝an－，则|bn－an|＝?an－－an?＝≤1，n∈N，得bn＋1－bn＝－ nnnn＋1??n＞0， 则b2－b1，b3－b2，…，b201－b200中有200个正数，符合题意； ③若－2＜d＜0，可令b2n－1＝a2n－1－1，b2n＝a2n＋1， 则b2n－b2n－1＝a2n＋1－(a2n－1－1)＝2＋d＞0， 则b2－b1，b3－b2，…，b201－b200中至少有100个正数，符合题意； ④若d≤－2，若存在数列{bn}满足：{bn}与{an}接近， 即an－1≤bn≤an＋1，an＋1－1≤bn＋1≤an＋1＋1， 得bn＋1－bn≤an＋1＋1－(an－1)＝2＋d≤0， b2－b1，b3－b2，…，b201－b200中无正数，不符合题意． 综上，d的取值范围是(－2，＋∞)．
2020届高考数学二轮复习专题5数列第1讲等差数列、等比数列练习理
