专题33最值问题
在中学数学题中，最值题是常见题型，围绕最大（小）值所出的数学题是各种各样，就其解法，主要为以下几种： 1.二次函数的最值公式
二次函数y?ax2?bx?c（a、b、c为常数且a?0）其性质中有
专题知识回顾
4ac?b2b①若a?0当x??时，y有最小值。ymin?；
4a2a4ac?b2b②若a?0当x??时，y有最大值。ymax?。
4a2a2.一次函数的增减性
一次函数y?kx?b(k?0)的自变量x的取值范围是全体实数，图象是一条直线，因而没有最大（小）值；但当m?x?n时，则一次函数的图象是一条线段，根据一次函数的增减性，就有最大（小）值。 3. 判别式法
根据题意构造一个关于未知数x的一元二次方程；再根据x是实数，推得??0，进而求出y的取值范围，并由此得出y的最值。 4.构造函数法
“最值”问题中一般都存在某些变量变化的过程，因此它们的解往往离不开函数。 5. 利用非负数的性质
在实数范围内，显然有a?b?k?k，当且仅当a?b?0时，等号成立，即a?b?k的最小值为k。 6. 零点区间讨论法
用“零点区间讨论法”消去函数y中绝对值符号，然后求出y在各个区间上的最大值，再加以比较，从中确定出整个定义域上的最大值。 7. 利用不等式与判别式求解
在不等式x?a中，x?a是最大值，在不等式x?b中，x?b是最小值。 8. “夹逼法”求最值
在解某些数学问题时，通过转化、变形和估计，将有关的量限制在某一数值范围内，再通过解不等式获取问题的答案，这一方法称为“夹逼法”。
专题典型题考法及解析
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【例题1】（经典题）二次函数y=2（x﹣3）﹣4的最小值为 ． 【答案】﹣4．
【解析】题中所给的解析式为顶点式，可直接得到顶点坐标，从而得出解答． 二次函数y=2（x﹣3）﹣4的开口向上，顶点坐标为（3，﹣4）， 所以最小值为﹣4．
【例题2】（2018江西）如图，AB是⊙O的弦，AB=5，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°，若点M、N分别是AB、AC的中点，则MN长的最大值是 ．
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【答案】．
【解析】根据中位线定理得到MN的最大时，BC最大，当BC最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值．
如图，∵点M，N分别是AB，AC的中点， ∴MN=BC，
∴当BC取得最大值时，MN就取得最大值，当BC是直径时，BC最大， 连接BO并延长交⊙O于点C′，连接AC′， ∵BC′是⊙O的直径， ∴∠BAC′=90°． ∵∠ACB=45°，AB=5， ∴∠AC′B=45°， ∴BC′=
=
=5
，
∴MN最大=．
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【例题3】（2019湖南张家界）已知抛物线y＝ax＋bx＋c（a≠0）过点A(1，0)，B(3，0)两点，与
y轴交于点C，OC＝3．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）过点A作AM⊥BC，垂足为M，求证：四边形ADBM为正方形；
（3）点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当△PBC面积最大时，求P点坐标及最大面积的值；
（4）若点Q为线段OC上的一动点，问AQ＋2QC是否存在最小值?若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由．
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yC321-2-1O-1
MA12D
3Bx【思路分析】（1）将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式即可求出a、b、c的值（当然用两根式做更方便）；（2）先证四边形AMBD为矩形，再证该矩形有一组邻边相等，即可证明该四边形为正方形；（3）如答图2，过点P作PF⊥AB于点F，交BC于点E，令P(m，m－4m＋3)，易知直线BC的解析式为y＝－x＋3，则E(m，－m＋3)，PE＝(－m＋3)－(m－4m＋3)＝－m＋3m．再由S△PBC＝S△PBE＋S△CPE2
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，转化为2PE?OB＝2×3×(－m＋3m)，最后将二次函数化为顶点式即可锁定S△PBC的最大值与点P1
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坐标；（4）解决本问按两步走：一找（如答图3，设OQ＝t，则CQ＝3－t，AQ＋2QC＝t2?1?12
1(3?t)，2取CQ的中点G，以点Q为圆心，QG的长为半径作⊙Q，则当⊙Q过点A时，AQ＋QC＝⊙Q的直径最小）、二求（由 AQ＝2QC，解关于t的方程即可）．
【解题过程】（1）∵抛物线y＝ax＋bx＋c（a≠0）过点A(1，0)，B(3，0)两点， ∴令抛物线解析为y＝a(x－1)(x－3)． ∵该抛物线过点C(0，3)，
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2020中考数学复习专题最值问题解析版
