§4.1等差数列的通项与求和
一、知识导学
1.数列:按一定次序排成的一列数叫做数列.
2.项:数列中的每一个数都叫做这个数列的项,各项依次叫做这个数列的第1项(或首项),第2项,…,第n项,….
3.通项公式:一般地,如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.
4. 有穷数列:项数有限的数列叫做有穷数列. 5. 无穷数列:项数无限的数列叫做无穷数列
6.数列的递推公式:如果已知数列的第一项(或前几项)及相邻两项(或几项)间关系可以用一个公式来表示,则这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式是给出数列的一种重要方法,其关健是先求出a1,a2,然后用递推关系逐一写出数列中的项.
7.等差数列:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用d表示.
a?ba?b8.等差中项:如果a,A,b这三个数成等差数列,那么A=.我们把A=
22叫做a和b的等差中项.
二、疑难知识导析
1.数列的概念应注意几点:(1)数列中的数是按一定的次序排列的,如果组成的数相同而排列次序不同,则就是不同的数列;(2)同一数列中可以出现多个相同的数;(3)数列看做一个定义域为正整数集或其有限子集({1,2,3,…,n})的函数.
2.一个数列的通项公式通常不是唯一的.
?S13.数列{an}的前n项的和Sn与an之间的关系:an???Sn?Sn?1an(n>2),则an不用分段形式表示,切不可不求a1而直接求an.
(n?1),(n?2).若a1适合
4.从函数的角度考查等差数列的通项公式:an= a1+(n-1)d=d·n+ a1-d, an是关于n的一次式;从图像上看,表示等差数列的各点(n,an)均匀排列在一条直线上,由两点确定一条直线的性质,不难得出,任两项可以确定一个等差数列.
5、对等差数列的前n项之和公式的理解:等差数列的前n项之和公式可变形为
Sn?d2dddn?(a1?)n,若令A=,B=a1-,则Sn=An2+Bn. 22226、在解决等差数列问题时,如已知,a1,an,d,Sn,n中任意三个,可求其余两个。 三、经典例题导讲
[例1]已知数列1,4,7,10,…,3n+7,其中后一项比前一项大3.(1)指出这个数列的通项公式;(2)指出1+4+…+(3n-5)是该数列的前几项之和. 错解:(1)an=3n+7;
(2) 1+4+…+(3n-5)是该数列的前n项之和.
错因:误把最后一项(含n的代数式)看成了数列的通项.(1)若令n=1,a1=10?1,显然3n+7不是它的通项. 正解:(1)an=3n-2;
(2) 1+4+…+(3n-5)是该数列的前n-1项的和.
22 [例2] 已知数列?an?的前n项之和为① Sn?2n?n ② Sn?n?n?1
求数列?an?的通项公式。
22错解: ① an?2n?n?2(n?1)?(n?1)?4n?3 22 ② an?n?n?1?(n?1)?(n?1)?1?2n
错因:在对数列概念的理解上,仅注意了an=Sn-Sn-1与的关系,没注意a1=S1. 正解: ①当n?1时,a1?S1?1
22 当n?2时,an?2n?n?2(n?1)?(n?1)?4n?3
经检验 n?1时 a1?1 也适合,?an?4n?3 ②当n?1时,a1?S1?3
22 当n?2时,an?n?n?1?(n?1)?(n?1)?1?2n
∴ an??(n?1)?3 ?2n(n?2)[例3] 已知等差数列?an?的前n项之和记为Sn,S10=10 ,S30=70,则S40等于 。 错解:S30= S10·2d. ? d=30, ? S40= S30+d =100.
错因:将等差数列中Sm, S2m -Sm, S3m -S2m成等差数列误解为Sm, S2m, S3m成等差数列.
10?9?10a?d?10?22?12正解:由题意:?得a1?,d?
30?29515?30a?d?701?2?代入得S40 =40a1?40?39?40d?120。 2Sna7n?1?(n?N?),求7; Tn4n?27b7[例4]等差数列?an?、?bn?的前n项和为Sn、Tn.若
错解:因为等差数列的通项公式是关于n的一次函数,故由题意令an=7n+1;bn=4n+27.
?a77?7?110?? b74?7?2711Snan? bnTn错因:误认为
正解:?a7a7?a7S137?13?192???? b7b7?b7T134?13?2779[例5]已知一个等差数列?an?的通项公式an=25-5n,求数列?|an|?的前n项和; 错解:由an?0得n?5
? ?an?前5项为非负,从第6项起为负, ? Sn=a1+a2+a3+a4+a5=50(n?5)
当n?6时,Sn=|a6|+|a7|+|a8|+…+|an|=
(20?5n)(n?5)
2,n?5?50?? Sn=?(20?5n)(n?5)
,n?6?2?错因:一、把n?5理解为n=5,二、把“前n项和”误认为“从n?6起”的和.
?n(45?5n),n?5??2正解: ?
?(20?5n)(n?5)?50,n?6?2?[例6]已知一个等差数列的前10项的和是310,前20项的和是1220, 由此可以确定求其前n项和的公式吗?
解:理由如下:由题设: S10?310 S20?1220 得: ??10a1?45d?310?a1?4 ??
20a?190d?1220?1?d?6n(n?1)?6?3n2?n 2 ∴ Sn?4n?1?n[例7]已知:an?1024?lg2 (lg2?0.3010)n?N? (1) 问前多少项之和为最
大?(2)前多少项之和的绝对值最小? 解:(1) ??an?1024?(1?n)lg2?010241024??n??1?3401?n?3403
lg2lg2?an?1?1024?nlg2?0∴n?3402
高中必修1-5错误解题分析系列-《4.1等差数列的通项与求和》
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