§4.1等差数列的通项与求和
一、知识导学
1.数列：按一定次序排成的一列数叫做数列.
2.项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n项，….
3.通项公式：一般地，如果数列｛an｝的第ｎ项与序号ｎ之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.
4. 有穷数列:项数有限的数列叫做有穷数列. 5. 无穷数列:项数无限的数列叫做无穷数列
6.数列的递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项）及相邻两项（或几项）间关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式是给出数列的一种重要方法，其关健是先求出a1,a2,然后用递推关系逐一写出数列中的项.
7.等差数列:一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用ｄ表示．
a?ba?b8.等差中项:如果ａ，Ａ，ｂ这三个数成等差数列，那么Ａ＝．我们把Ａ＝
22叫做ａ和ｂ的等差中项．
二、疑难知识导析
1.数列的概念应注意几点：（1）数列中的数是按一定的次序排列的，如果组成的数相同而排列次序不同，则就是不同的数列；（2）同一数列中可以出现多个相同的数；（3）数列看做一个定义域为正整数集或其有限子集(｛1，2，3，…，n｝)的函数.
2.一个数列的通项公式通常不是唯一的.
?S13.数列｛an｝的前n项的和Sn与an之间的关系：an???Sn?Sn?1an(n>2),则an不用分段形式表示，切不可不求a1而直接求an.
(n?1),(n?2).若a1适合
4.从函数的角度考查等差数列的通项公式：an= a1+(n-1)d=d·n+ a1-d, an是关于n的一次式；从图像上看，表示等差数列的各点（n,an）均匀排列在一条直线上，由两点确定一条直线的性质，不难得出，任两项可以确定一个等差数列.
5、对等差数列的前n项之和公式的理解：等差数列的前n项之和公式可变形为
Sn?d2dddn?(a1?)n，若令A＝，B＝a1－，则Sn＝An2+Bn. 22226、在解决等差数列问题时，如已知，a1，an，d，Sn，n中任意三个，可求其余两个。 三、经典例题导讲
[例1]已知数列1，4，7，10，…，3n+7,其中后一项比前一项大3.（1）指出这个数列的通项公式；（2）指出1+4+…+（3n－5）是该数列的前几项之和. 错解：（1）an=3n+7;
(2) 1+4+…+（3n－5）是该数列的前n项之和.
错因：误把最后一项（含n的代数式）看成了数列的通项.（1）若令n=1,a1=10?1,显然3n+7不是它的通项. 正解：（1）an=3n－2;
(2) 1+4+…+（3n－5）是该数列的前n－1项的和.
22 [例2] 已知数列?an?的前n项之和为① Sn?2n?n ② Sn?n?n?1
求数列?an?的通项公式。
22错解： ① an?2n?n?2(n?1)?(n?1)?4n?3 22 ② an?n?n?1?(n?1)?(n?1)?1?2n
错因：在对数列概念的理解上，仅注意了an＝Sn－Sn-1与的关系，没注意a1=S1. 正解： ①当n?1时，a1?S1?1
22 当n?2时，an?2n?n?2(n?1)?(n?1)?4n?3
经检验 n?1时 a1?1 也适合，?an?4n?3 ②当n?1时，a1?S1?3
22 当n?2时，an?n?n?1?(n?1)?(n?1)?1?2n
∴ an??(n?1)?3 ?2n(n?2)[例3] 已知等差数列?an?的前n项之和记为Sn，S10=10 ，S30=70，则S40等于 。 错解：S30= S10·2d. ? d＝30， ? S40= S30+d =100.
错因：将等差数列中Sm, S2m －Sm, S3m －S2m成等差数列误解为Sm, S2m, S3m成等差数列.
10?9?10a?d?10?22?12正解：由题意：?得a1?,d?
30?29515?30a?d?701?2?代入得S40 ＝40a1?40?39?40d?120。 2Sna7n?1?(n?N?),求7； Tn4n?27b7[例4]等差数列?an?、?bn?的前n项和为Sn、Tn.若
错解：因为等差数列的通项公式是关于n的一次函数，故由题意令an=7n+1;bn=4n+27.
?a77?7?110?? b74?7?2711Snan? bnTn错因：误认为
正解：?a7a7?a7S137?13?192???? b7b7?b7T134?13?2779[例5]已知一个等差数列?an?的通项公式an=25－5n，求数列?|an|?的前n项和； 错解：由an?0得n?5
? ?an?前5项为非负，从第6项起为负， ? Sn=a1+a2+a3+a4+a5=50(n?5)
当n?6时，Sn=｜a6｜+｜a7｜+｜a8｜+…+｜an｜＝
(20?5n)(n?5)
2,n?5?50?? Sn=?(20?5n)(n?5)
,n?6?2?错因：一、把n?5理解为n=5，二、把“前n项和”误认为“从n?6起”的和.
?n(45?5n),n?5??2正解： ?
?(20?5n)(n?5)?50,n?6?2?[例6]已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220， 由此可以确定求其前n项和的公式吗？
解：理由如下：由题设： S10?310 S20?1220 得： ??10a1?45d?310?a1?4 ??
20a?190d?1220?1?d?6n(n?1)?6?3n2?n 2 ∴ Sn?4n?1?n[例7]已知：an?1024?lg2 （lg2?0.3010）n?N? （1） 问前多少项之和为最
大？（2）前多少项之和的绝对值最小？ 解：（1） ??an?1024?(1?n)lg2?010241024??n??1?3401?n?3403
lg2lg2?an?1?1024?nlg2?0∴n?3402
高中必修1-5错误解题分析系列-《4.1等差数列的通项与求和》
