22．直线
xyz??与平面x?y?z?2的位置关系是（ ） 1?10A．平行 B．直线在平面内 C．垂直 D．相交但不垂直
【答案】A
【解析】(1,?1,0)?(1,1,?1)?0，得直线的方向向量与平面的法向量垂直，在直线上取一点(0,0,0)，该点不在平面x?y?z?2上，故直线与平面平行．
23．limy的值为（ ）
x?2sinxyy?0 A．0 B．1 C．
1 2D．不存在
【答案】C 【解析】limyy11?lim?lim?．
x?2sinxyx?2xyx?2x2y?0y?0
24．函数f(x,y)在(x0,y0)处两个偏导数fx?(x0,y0)，fy?(x0,y0)都存在是f(x,y)在该点处连续的（ ）
A．充要条件 C．充分非必要条件
B．必要非充分条件 D．既非充分亦非必要条件
【答案】D
【解析】两个偏导数存在与连续没有关系，故选D．
?x?25．函数z?ln?1??在点(1,1)处的全微分dzy??(1,1)?（ ）
1B．(dx?dy)
211D．dx?dy
x?yy
A．0 C．dx?dy
【答案】B
?z1?z111【解析】?，????x1?xyx?y?y1?xyy
?x?x，???2???2dzyy?xy??(1,1)11故选B． ?dx?dy，
22第 6 页 共 13 页
26．设I??dy?011?y03x2y2dx，则交换积分次序后（ ） 3x2y2dy
A．I??dx?011?x01?x2B．I??1?y01dx?3x2y2dy
01?x201C．I??dx?0103x2y2dy
D．I??dx?03x2y2dy
【答案】C
?11?x2?0?x?1?0?y?1【解析】?，交换积分次序后为I??dx?3x2y2dy． ??200??0?y?1?x?0?x?1?y
27．设L为三个顶点分别为A(?1,0)，O(0,0)和B(0,1)的三角形区域的边界，L的方向为顺时针方向，则?(3x?y)dx?(x?2y)dy?（ ）
L A．0 B．1 C．2 D．?1
【答案】 【解析】
???28．设D??(x,y)0?x?,?1?y?1?，则??ycos(2xy)dxdy?（ ）
4??D
1A．?
2B．0 C．
1 4D．
1 2【答案】B
【解析】??ycos(2xy)dxdy??dy?4ycos(2xy)dx?D?101?11?y1?ysindy??cos2??12?21?1?0．
29．若级数?an与?bn都发散，则下列表述必正确的是（ ）
n?1n?1??
A．?(an?bn)发散
n?1??
B．?anbn发散
n?1?22D．?(an?bn)发散
n?1?C．?(an?bn)发散
n?1【答案】C
【解析】?an发散，则?an发散，an?bn?an，由正项级数的比较判别法可知，
n?1n?1??第 7 页 共 13 页
??(an?1n?bn)发散．
30．若级数?an(x?2)n在x??2处收敛，则此级数在x?4处（ ）
n?1?
A．发散 C．绝对收敛
B．条件收敛 D．敛散性不能确定
【答案】C
【解析】级数?an(x?2)n在x??2处收敛，由阿贝尔定理知，对于所有满足x?2?4的点
n?1?x，即?2?x?6，幂级数?an(x?2)n绝对收敛，故此级数在x?4处绝对收敛．
n?1?
二、填空题 （每小题 2分，共 20分） 31．lim(1?x)?________．
x?01x【答案】e?1
【解析】lim(1?x)?lim?1?(?x)?x?0x?01x1?(?1)?x?e?1．
32．设f(x)为奇函数，则f?(x0)?3时，f?(?x0)?________． 【答案】3
【解析】由于f(x)为奇函数，故f?(x)为偶函数，故f?(?x0)?f?(x0)?3．
33．曲线y?lnx上点(1,0)处的切线方程为________． 【答案】y?x?1 【解析】y? 34．
1?x(x?1)dx?________．
x?1?C xx?1?1，故切线方程为y?0?x?1，即y?x?1．
【答案】ln第 8 页 共 13 页
【解析】?
111x?1dx??dx??dx?lnx?1?lnx?C?ln?C．
x(x?1)x?1xx35． 以C1e?2x?C2xe?2x为通解的二阶常系数齐次线性方程为________． 【答案】y???4y??4y?0
【解析】由题意可知，r??2为二阶常系数齐次线性微分方程所对应的特征方程的二重根，满足特征方程r2?4r?4?0，故所求方程为y???4y??4y?0．
36．点(1,2,3)关于y轴的对称点是________． 【答案】(?1,2,?3)
【解析】点(1,2,3)关于y轴的对称点，即y不变，x，z取其相反数，故对称点为(?1,2,?3)．
37．函数z?ex?y在点(0,0)处的全微分dz【答案】dx?dy 【解析】dz?
38．由x?y?xy?1所确定的隐函数y?y(x)在x?1处导数为________． 1【答案】?
2(0,0)?________．
?z?zdx?dy?ex?ydx?ex?ydy，故dz?x?y(0,0)?dx?dy．
【解析】方程两边同时关于x求导得，当x?1时，代入得y?(1)??1?y??y?xy??0，y?0，
39．函数z?x2?y2在点(1,2)处沿从点A(1,2)到B(2,2?3)的方向的方向导数等于
1．2
________．
【答案】1?23 【解析】
?z?x?2，
(1,2)?z?y(1,2)?13??4，与AB?(1,3)同方向的单位向量为??2,2??，
??第 9 页 共 13 页
故方向导数为
?z?l(1,2)13?2??4??1?23．
22xn40．幂级数?的收敛区间为________．
n?1n?【答案】(?1,1) 【解析】??lim
三、计算题 （每小题5 分，共50 分） n?n41．用夹逼准则求极限lim?2?2?n??n?1n?2??n??． n2?n?an?11n?lim?1，R??1，故收敛区间为(?1,1)． n??n?1an?n??【答案】1
nnn【解析】因为2，k?1,2,?2?2n?nn?kn?1nn2nn2， ,n，所以2???n?nk?1n2?kn2?1n2n2n?n又lim2?1，由夹逼准则可知，lim?2?2??1，lim2n??n?1n??n?1n??n?nn?2?
1?3?xsin2,x?042．讨论函数f(x)??在x?0处的可导性． x?x?0?0,?n???1． n?n?2【答案】
f(x)?f(0)?limx?0x?0x3sin1x2?limx2sin1?0，故函数f(x)在x?0处可导． x?0xx2【解析】f?(0)?limx?0
ex 43．求不定积分?2xdx．
e?1【答案】arctanex?C
exdex【解析】?2xdx???arctanex?C． 2e?1?ex??1第 10 页 共 13 页
2011年河南专升本高数真题+答案解析
