微积分在生活的应用

由天下分享时间：2025/1/21 5:11:42 加入收藏我要投稿点赞

微积分不仅在数学中有重要的应用而且在物理中也有十分广泛的应用,应用

微积分法去解决实际问题是非常广泛的,把“数学微元”的思想抽象成定积分去求解物理学相关的问题.在实际过程中,微积分思想把复杂物理问题进行有限次分割,在有限小范围内进行近似处理,而近似处理就是要抓住问题的主要方面,从而使问题变得简单.实际中的复杂问题,则可以化整为零,把它分割成在小时间、小空间范围内的局部问题,只要局部范围被分割到无限小,小到这些局部问题可近似处理为简单的可研究的问题,把局部范围内的结果累加起来,就是问题的结果.

在应用微积分方法解物理问题时,微元的选取非常关键,选的恰当有利于问题的分析和计算,其一要保证在所选取的微元内能近似处理成简单基本的物理模型,以便于分析物理问题；其二要尽量把微分选取的大,这样可使积分运算更加简单,因为微分和积分互为逆运算,微分微的越细,越精确,但积分越繁琐,计算工作量较大,所以还要在微分和积分这对矛盾之间协调处理.

3.1 微分在物理中的应用

在实际分析物理问题的过程中,利用微分解释物理量变化率及实际有关函数极值的问题时,可加深对物理意义的理解,提高生活中问题的准确性.

3.1.1 研究匀变速直线运动的问题

甲、乙两车同时同地同向出发,在同一水平公路上做直线运动,甲以初速度

v甲?20m/s,加速度a甲?2m/s2做减速运动,乙以初速度v乙?4m/s,加速度

a乙?2m/s2,做加速运动,求两车再次相遇前的最大距离[6].

分析与解： t时刻两车的距离为：

11（v甲t?a甲t2）（-v乙t?a乙t2）?16t?2t2 s?s甲?s乙?22对s(t)求导数得：

s'?16?4t

令：s'?16?4t?0（一阶导数等于0函数有极值）

解得：t?4s

将t=4s代入原式得：

s?16t?2t2?32m

即：t=4s时两车再次相遇前的最大距离,其值为32m.

3.1.2 利用隐函数求导实际问题中物体的速度、加速度

湖中有一小船,岸边有人用绳子跨过离水面高为H的滑轮拉船靠岸,设绳的原长为l0,以匀速率v0拉绳,求在任意位置x处,小船的速度和加速度[7].

小船可作为质点并作一维运动,选取坐标系,在任一位置处,绳长l,位置坐标x及高度H(常数)之间有如下关系：

l2?x2?H2 (1) 将（1）式两边同时对t求导,有 l 注意到

dldx?x (2) dtdtdldx??v0（绳长l减小）,?v，则有 dtdtlH v??v0??1?()2v0

xx将（2）式两边再对t 求导有

dl2ddldx2d2x （）?L()?()?x2

dtdtdtdtdtdld2x注意到a?2，为常数,则上式为

dtdt v02H22d2x?[1?()]v0?x2

xdt

H22即 a??3v0.

xv和a表达式中的负号表示v.a的方向沿x轴负向,且随着小船向岸边的运动,速度和加速度的值越来越大.

3.2 积分在物理中的应用 3.2.1 研究变力做功问题

设物体在变力作用下,沿X轴由a点处移动到b处,求变力所做的功？

由于力F(x)是变力,所求功是区间[a,b]上均匀分布的整体量,故可以用定积分来解决,利用微元法,由于变力F(x)是连续变化的,故可以设想在微小区间[x,x?dx]上作用力保持不变（“常代变”求微元的思想）,按常力做功公式得这一段上变力F(x)做功的近似值.

(1)把变力F（x）近似为恒力,大小方向都不变；

(2)把曲线轨迹近似为直线轨迹，即看成直线运动,其位移记为dx,把每段内的功近似恒力作用下做直线运动的功计算,则dW=F(x)dx近似处理后,再把沿整个路径的所有运动小段内力所做的元功加起来,就得到整个过程中力对质点所做的功．由于dx表示位移趋于零,对元功积分,使得变力F(x)从a到b所做的功为

W=?F(x)dx

在实际应用中,许多问题都可以转化为物体受变力作用沿直线所做的功的情形,下面通过具体例子来说明.

例：把一个带+q电量的点电荷放在r轴上的坐标原点处,它产生一个电场,这个电场对周围的电荷有作用力.由物理学知道,如果一个单位正电荷放在这个电场中

距离原点为r的地方,那么电场对它的作用力的大小为F?kq. r2试计算：当这个单位正电荷在电场中从r=a处沿r轴移动到r=b处时,电场力F对它所做的功[8].

解：注意到将单位正电荷在r轴上从点a移动到点b的过程中,电场对该单位正电荷的作用力是变化的,问题可归结为变力沿直线做功的情形处理.

取r为积分变量,其变化区间为［a，b］,任取微元［r，r?dr］,当单位正电荷从r移动到r?dr时,电场力对它所做的功近似等于k 即功微元为 dW? 从而所求功为

W??baqdr, 2rqdr r2kq1b11dr?kq[?]?kq(?) |2arrab 在计算电场中某点的电位时,要考虑将单位正电荷从该点（r=a）移动到无穷远处时电场力所做的功W,此时有

W??

??akq1??kqdr?kq[?]|?. r2raa3.2.2 研究液体的压力

我们学习物理学知道在液体下深度为h处的压强为P??gh(其中?是液体的密度,g重力加速度).如果有一面积为S的薄板水平地置于深度为h处,那么薄板乙侧所受的液体压力计算F?PS,但是在实际问题中,常常碰到计算薄板竖直地放置在液体中时,其一侧所受到的压力如何如何？由于压强P是随液体的深度变化而变化,所以薄板一侧所受到的液体压力就不能简单地应用公式

F?PS??ghS来计算,可以考虑用定积分的“微元法”去求解.

修建一道形状是等腰梯形的闸门,它的两条底边各长6m和4m,高为6m,较长的底边与水面平齐,要计算闸门一侧所受水的压力[9].

1解：选取变量,确定区间,建立坐标系,找出AB的方程为y??x?3,取x微积

分变量,[0,6]为积分区间.

取近似,找出微元,在x[0,6]上任意取一微小区间[x,x?dx],该区间上小曲边平板所受的压力可近似地看作长为y,宽为dx的小矩形水平的放在距液体表面

1深度为x的位置上,压力微元为 dF?2?gxydx?2?9.8?103x(?x?3)dx

6 找出整量,取积分.从而求出闸门一侧所受水的压力为

6611F??9.8?103(?x2?6x)dx?9.8?103[?x3?3x2]|?8.23?105N

0039一般来说,液体压力的计算公式为：F???gxf(x)dx

ab 其中,?是液体的密度,f(x)为平板曲边的函数式.

3.2.3 研究物体的引力

一根长为l的均匀细杆,质量为M,在其中垂线上相距细杆为a处有一质量为m的质点,试求细杆对质点的万有引力[10]