x?20是极小值点,由于在（0，??）上函数处处可导,且只有唯一的极值点,当它为
极小值点时必为最小值点.所以求得当船速为20km/h时,每航行1km的耗费为最少,其值为ymin?0.006?202?
96?7.2(元). 202.2 积分在几何学中的应用
2.2.1 在平面问题上的应用 2.2.1.1 平面图形的面积的计算
求三叶玫瑰线r?acos3?围成的区域的面积
图2.1 r?acos3?
y x O
此处图形要加坐标系
解： 三叶玫瑰线围成的三个叶全等,只需计算第一象限那部分的面积面积的6倍.三叶玫瑰线r?acos?,在第一象限中,角的变化范围是由0到瑰线围成的区域的面积是
?6?222A??6acos(3?)d??a?6cos2(3?)d(3?)0 20?,于是,三叶玫6? ?a2?20a2cos?d??22??20(1?cos2?)d?
2a2sin2???a(??)|2? ?
0224
2.2.1.2 平面曲线的弧长的计算
求星形线a?acos3?,y?asin3?,a?0,0???2?的全长 解：
图（1） 星形线
y x o
星形线关于两个坐标轴都对称,于是,星形线的全长是它在第一象限的那部分弧长的4倍.
x'??3acos2?sin?y?3asin?cos?
则星形线的全长
?'2
s?4?20x?yd??12a?2x'?y'd?
0'2'2?22?0?0?co?sd? ?12a?2|sin?cos?|d??12a?2sin? ?3a?2sin2?d(2?)?6a
0
2.2.2 在三维空间中的应用
2.2.2.1 旋转曲面的面积的计算
a2b2 求椭圆2?2?1(0?b?a)绕y轴旋转所成旋转椭球体的表面积.
xya2b2 图2 椭圆2?2?1
xy
Y X o
解： x?a2ay b?y2,x'y??22bbb?y 于是，旋转椭球体的表面积
P=2??x1?xdy?4??-bb'2yb0x2?(xx'y)2dy
=
4?ab4b?(a2?b2)y2dy 2?b04?abb422 ?2???ydy 20ba4?a2 ?2b?b0b4??2y2d(?y) 2ab2?a2b4b4b422 ?2(?y2??y?2ln|?y?2??2y2|)|
0b?aaa2?ab4b4b4b4b22222 ?2(?b2??b?2ln|?b?2??b|?2ln)
b?aaaaa ?2?a?22?b2?aln[(1??)] b
a2?b2 其中,??是椭圆的离心率.
a
2.2.2.2 旋转体的体积的计算
切黄瓜圈时,将洗净的黄瓜放到水平放置的菜板上,菜刀则垂直于菜板的方向切去黄瓜两端,也就是所求体积的立体空间,接下来试想如何将计算出这个不规则黄瓜的体积？
我们可以,也就是将间隔较小距离且垂直于菜板方向切下一个黄瓜薄片,将其视为一个支柱体,这个体积也就是等于截面的面积乘以厚度.举一反三,如果将这根黄瓜切成若干薄片,计算每个薄片的面积并相加就可得到黄瓜的近似体积，且黄瓜片约薄,体积值就约精确.
那么如何才能提高这个数值的精确度呢?也就是将其无限细分,再获得无限和,也就是黄瓜的体积.
切菜应用就是平行截面面积为已知的几何体体积问题，举一个例子，最好是生活化的例题
第三章 在物理学上的应用
微积分在生活的应用
