中考数学知识点25 全等三角形
一、选择题
1.（2019·滨州）如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（ ）
A．4 【答案】B
【解析】∵∠AOB=∠COD，∴∠AOC=∠BOD，又∵OA=OB，OC=OD，∴△AOC≌△BOD，∴AC=BD，故①正确；∵△AOC≌△BOD，∴∠MAO=∠MBO，如图，设OA与BD相交于N，又∵∠ANM=∠BNO，∴∠AMB=∠AOB=40°，故②正确；如图，过点O分别作AC和BD的垂线，垂足分别是E，F，∵△AOC≌△BOD，AC=BD，∴OE=OF，∴MO平分∠BMC，故④正确；在△AOC中，∵OA＞OC，∴∠ACO＞∠OAC，∵△AOC≌△BOD，∴∠OAC=∠OBD，∴∠ACO＞∠OBM，在△OCM和△OBM中，∠ACO＞∠OBM，∠OMC=∠OMB，∴∠COM＜∠BOM，故③错误，所以①②④正确．故选B．
B．3
C．2
D．1
2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.
二、填空题
16．（2019·嘉兴）如图，一副含30°和45°角的三角板ABC和EDF拼合在个平面上，边AC与EF重合，AC＝12cm．当点E从点A出发沿AC方向滑动时，点F同时从点C出发沿射线BC方向滑动．当点E从点A滑动到点C时，点D运动的路径长为 cm；连接BD，则△ABD的面积最大值为 cm．
2
【答案】24?122，362?243?126 【解析】∵AC＝12cm，∠A＝30°，∠DEF＝45°, ∴BC＝4
cm，AB＝8
cm，ED＝DF＝6
cm,
如图，当点E沿AC方向下滑时，得△E'D'F'，过点D'作D'N⊥AC于点N，作D'M⊥BC于点M,
∴∠MD'N＝90°，且∠E'D'F'＝90°,
∴∠E'D'N＝∠F'D'M，且∠D'NE'＝∠D'MF'＝90°，E'D'＝D'F', ∴△D'NE'≌△D'MF'（AAS）, ∴D'N＝D'M，且D'N⊥AC，D'M⊥CM, ∴CD'平分∠ACM,
即点E沿AC方向下滑时，点D'在射线CD上移动， ∴当E'D'⊥AC时，DD'值最大，最大值＝
ED﹣CD＝（12﹣6
）cm,
）＝（24﹣12
）cm.
∴当点E从点A滑动到点C时，点D运动的路径长＝2×（12﹣6如图，连接BD'，AD'，
∵S△AD'B＝S△ABC+S△AD'C﹣S△BD'C,
∴S△AD'B＝BC×AC+×AC×D'N﹣×BC×D'M＝24当E'D'⊥AC时，S△AD'B有最大值， ∴S△AD'B最大值＝24
+（12﹣4
）×6
＝（24
+36
﹣12
）cm．
2
+（12﹣4）×D'N,
故答案为：（24﹣12），（24+36﹣12）.
18．（2019·株洲）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，在直线x＝1处放置反光镜I，在y轴处放置一个有缺
口的挡板II，缺口为线段AB，其中点A(0，1)，点B在点A上方，且AB＝1，在直线x＝﹣1处放置一个挡板III，从点O发出的光线经反光镜I反射后，通过缺口AB照射在挡板III上，则落在挡板III上的光线的长度为．
第18题
【答案】
3 2【解析】如图，落在挡板III上的光线的长度为MN的长度,对应的反光镜I的边界点分别为点P和点Q，根据光线的折射，入射角等于反射角可得∠OPF=∠APF,从而证明△APF≌△OPF，所以AO=2AF=2OF，∴AF=
1,同理△AQB2≌△AQO,AB=AO=1，所以NE=2，∵AQ⊥y轴，∴PQ=AF=
1 2,
131由题意知，△AEM≌△AQP，所以ME=PQ=所以MN=NE-ME=2-2=2.
2,
3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
三、解答题
23．（2019·武汉，23，20分）在△ABC中，∠ABC＝90°，
AB?n，M是BC上一点，连接AM BC（1） 如图1，若n＝1，N是AB延长线上一点，CN与AM垂直，求证：BM＝BN （2） 过点B作BP⊥AM，P为垂足，连接CP并延长交AB于点Q ① 如图2，若n＝1，求证：
CPBM ?PQBQ② 如图3，若M是BC的中点，直接写出tan∠BPQ的值（用含n的式子表示）
CCMCMPMPAB图1NAQ图2BAQ图3B
【解题过程】
（1）证明：延长AM交CN于点H， ∵AM与CN垂直，∠ABC＝90°， ∴∠BAM＋∠N＝90°，∠BCN＋∠N＝90°， ∴∠BAM＝∠BCN． ∵n＝1，∠ABC＝90°，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠CBN． ∴△ABM≌△CBN， ∴BM＝BN．
（2）①证明：过点C作CD//BP交AB的延长线于点D，则AM与CD垂直． 由（1），得BM＝BD．
CPDBCPBM∵CD//BP，∴，即 ??PQBQPQBQ②
1 nAB?n，BC＝2BM，∴BC提示：延长PM到N，使得MN＝PM，易知△PBM≌△NCM，则∠CNM＝∠BPM＝90°，∵
ABPN2PM21＝＝＝ ?2n，设PM＝MN＝1，则PB＝CN＝2n，tan∠BPQ＝tan∠NCP＝
BMCNCN2nnCCHPCNMMPMAB图1NAQ图2BDAQ图3B
21．（2019·益阳）已知，如图，AB＝AE，AB∥DE，∠ECB=70°，∠D=110°，求证:△ABC≌△EAD.
第21题图
【解题过程】证明：由∠ECB=70°得∠ACB=110°. ∵∠D=110°， ∴∠ACB=∠D. ∵AB∥DE， ∴∠CAB=∠E. 又∵AB=AE，
∴△ABC≌△EAD.
19．（2019·黄冈）如图，ABCD是正方形，E是CD边上任意一点，连接AE，作BF⊥AE，DG⊥AE，垂足分别为F，G.求证：BF－DG＝FG.
【解题过程】
20．（2019安徽）如图，点E在□ABCD内部，AF∥BE，DF∥CE. （1）求证：△BCE≌△ADF；
（2）设□ABCD的面积为S，四边形AEDF的面积为T，求
B A
F E
C
D
S的值. T
【解题过程】解：（1）证明：如图1，延长FA与CB交于点M，∵AD∥BE，
∴∠FAD=∠M，又∵AF∥BE，∴∠M=∠EBC，∴∠FAD=∠EBC，同理得∠FDA=∠ECB， 在△BCE和△ADF中，∵∠EBC=∠FAD，BC=AD，∠ECB=∠FDA，
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