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三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分 17. （12分）
已知?ABC外接圆半径为R，其内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，设2R(sin2A?sin2B)?(a?c)sinC.
（1（求角B（
（（（若b=12（c=8（求sinA的值 【解析】(I)2R(sin∴2R?2R(sin即：a222A?sin2B)?(a?c)sinC.
A?sin2B)?(a?c)sinC?2R,
?c2?b2?ac. ……3分
a2?c2?b21?.∴cosB?2ac2
因为0?B??,所以?B??3……6分
(II)若b?12,c?8，由正弦定理，
3bc? sinC?
3sinBsinC由b?c，故?C为锐角，cosC?6.……9分3361332?3????.……12分 23236sinA?sin(B?C)?sin(?3?C)?18. （12分（
已知三棱锥M-ABC中，MA=MB=MC=AC=22，AB=BC=2，O为AC的中点，点N在校BC上，且BN?2BC. 3实用文档 精心整理
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（1）证明：BO?平面AMC； （2）求二面角N-AM-C的正弦值.
MAONB
C【解析】（I）如图所示：连接OM， 在?ABC中：AB?分
在?MAC中：MA?MC?AC?22，O为AC的中点，则OM?AC，且
BC?2,AC?22，则?ABC?90?,BO?2，OB?AC.2
OM?6.,……4分
在?MOB中：BO?2,OM?6,MB?22，满足：BO2?OM2?MB2
根据勾股定理逆定理得到OB?OM,AC,OM相交于O,， 故OB?平面AMC………………….6分
（Ⅱ）因为OB,OC,OM两两垂直，建立空间直角坐标系?????????如图所示． 因为MA?MB?MC?AC?22 AB?BC?2
则A(0,?2,0),B(2,0,0),C(0,2,0),M(0,0,6)……8分
uuur2uuur222BN?BC由所以，N(,,0)
333设平面
MMAN的法向量为m?(x,y,z)，则
rr?uuu252252,0)?(x,y,z)?x?y?0,?AN?n?(, 3333?uuuurr?AM?n?(0,2,6)?(x,y,z)?2y?6z?0?ur令y?3，得m?(?53,3,?1)……10分
uuur平面AMC，所以OB?(2,0,0)为平面AMC的法向量，
uruuur所以m?(?53,3,?1)与OB?(2,0,0)所成角的余弦为
AOCNBur因为BO?实用文档 精心整理
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uruuuur?56?53． cos?m,OB???79279uruuuur?5322279.……12分 所以二面角的正弦值为|sin?m,OB?|?1?()??79797919. （12分）
y2x22已知椭圆E:2?2?1(a?b?0)的离心率为，且过点C(1,0).
ab2（1）求椭圆E的方程；
（2）若过点(?1,0)的任意直线与椭圆E相交于A，B两点，线段AB的中点为M，求证，恒有|AB|?2|CM|. 【解析】（I）由题意知b?1，又因为a2?b2?c2解得，a?c2.……1分 ?a22.,……3分
y2?x2?1.,……4分 所以椭圆方程为2（（）,设过点(?,0)直线为x?ty?131，设A?x1,y1?，B?x2,y2? 31?x?ty???322由?2得9?18ty?12ty?16?0，且???. ?y?x2?1??2??则
12t?y?y?,2??19?18t2??6分?16?yy??,?129?18t2?,,,,
uuuruuur又因为CA??x1?1,y1?，CB??x2?1,y2?，,,,,
uuuruuur4??4?416?CA?CB?(x1?1)(x2?1)?y1y2??ty1???ty2???y1y2??1?t2?y1y2?t?y1?y2??3??3?39???1?t2?uuur?164t12t16????0，……10分
9?18t239?18t29uuur所以CA?CB.
因为线段AB的中点为M，所以|AB|?2|CM|.……12分
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20. （12）
水污染现状与工业废水排放密切相关，某工厂深人贯彻科学发展观，努力提高污水收集处理水平，其污水处理程序如下：原始污水必先经过A系统处理，处理后的污水（A级水）达到环保标准（简称达标）的概率为p（0 某厂现有4个标准水量的A级水池，分别取样、检测，多个污水样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要有样本不达标，则混合样本的化验结果必不达标，若混合样本不达标，则该组中各个样本必须再逐个化验；若混合样本达标，则原水池的污水直接排放 现有以下四种方案： 方案一：逐个化验； 方案二：平均分成两组化验；方案三；三个样本混在一起化验，剩下的一个单独化验； 方案四：四个样本混在一起化验. 化验次数的期望值越小，则方案越\优\（1）若p?22，求2个A级水样本混合化验结果不达标的概率； 3（2）①若p?22，现有4个A级水样本需要化验，请问：方案一、二、四中哪个最“优\？3②若“方案三”比“方案四\更“优”，求p的取值范围. 【解析】(I)该混合样本达标的概率是(2228)?，……2分 39811??.……4分 所以根据对立事件原理，不达标的概率为 99(II)（i）方案一：逐个检测，检测次数为4. 方案二：由(1)知，每组两个样本检测时，若达标则检测次数为1，概率为 8；若不达标则91检测次数为3，概率为.故方案二的检测次数记为ξ2，ξ2的可能取值为2,4,6. 9其分布列如下， ?2 2 4 6 p 64 8116 811 81可求得方案二的期望为E(?2)?2?6416119822?4??6???818181819 - 9 - 实用文档 精心整理 读 万 卷 书 行 万 里 路 方案四：混在一起检测，记检测次数为ξ4，ξ4可取1,5. 其分布列如下， ?41 5 p641781 81 可求得方案四的期望为E(?4)?1?6481?5?1714981?81. 比较可得E(?4)?E(?2)?4，故选择方案四最“优”．……9分 (ii)方案三：设化验次数为?3，?3可取2,5. ?32 5 p p31?p3E(?3)?2p3?5(1?p3)?5?3p3； 方案四：设化验次数为?4，?4可取1,5 ?41 5 p p41?p4E(?4)?p4?5(1?p4)?5?4p4； 由题意得E(?3433)?E(?4)?5?3p?5?4p?p?4. 故当0?p?34时，方案三比方案四更“优”．……12分 21. （12分） 已知函数f(x)?x?lnx?exx. （1）求f(x)的最大值； 实用文档 精心整理 - 10 -
河南省郑州市2024届高三上学期第一次质量预测数学（理）试题 Word版含答案
