（II） tan??
k1?k23k133，故． ????arctan241?k1k244?k134所以，直线AB与直线CD夹角θ的取值范围是(0,arctan]． ......20分 15、已知函数f(x)?x?mx?x?1，其中m为实数 （I）求函数f(x)的单调区间； （II）若对一切的实数x，有f?(x)?|x|?的取值范围．
2解：（I）因为f?(x)?3x?2mx?1，??4m?12?0
2327成立，其中f?(x)为f(x)的导函数．求实数m4
所以f?(x)?0有两个不等实根：
m?m2?3m?m2?3x1?，x2?，显然x1?x2． ......5分
33 当x1?x?x2时，f?(x)?0，即f(x)单调递减； 当x?x2或x?x1时，f?(x)?0，即f(x)单调递增；
m?m2?3m?m2?3]； 综上所述，有f(x)的单调递减区间为：[，
33m?m2?3m?m2?3)、(,??)． ......10分 单调递增区间为：(??,33（II）由条件有：3x?2mx?1?|x|?①当x?0时，3x?(2m?1)x?227， 433?0，即3x??2m?1在x?0时恒成立 44x 因为3x?331
?23x??3，当x?时等号成立． 4x4x2
所以3?2m?1，即m?1 ......15分 ②当x?0时，3|x|?(2m?1)|x|?233?1?2m在x?0时恒成?0，即3|x|?4|x|4立，因为3|x|?133?23|x|??3，当x??时等号成立．
24|x|4|x|所以3?1?2m，即m??1 ③当x?0时，m?R．
综上所述，实数m的取值范围是[?1,1]． ......20分
n16、已知Sn是数列{an}的前n项的和，对任意的正整数n，都有(1?b)Sn??ban?4成立，
其中b?0．
（I）求数列{an}的通项公式； （II）设cn?an?(n?N)，若|cn|?2，求实数b的取值范围． n4解：（I）当n?1时，有(1?b)a1??ba1?4，故a1?4．
nn?1 当n?2时，(1?b)Sn??ban?4 及 (1?b)Sn?1??ban?1?4 n?1于是 (1?b)an??b(an?an?1)?3?4
n?1即an?ban?1?3?4
① 若b?4，则
anan?13ana13????(n?1) ，于是nn?1n444444n?1 从而 an?(3n?1)?4 (n?2)
n?1 所以，an?(3n?1)?4 (n?1) ......5分
33?4n?b(an?1??4n?1) b?4b?433 于是an??4n?(a1??4n)bn?1
b?4b?412n?13从而 an?(4? )b??4n (n?2)
b?4b?412n?13)b??4n (n?1) 所以，an?(4?b?4b?4② 若b?4，则an??(3n?1)?4n?1?综上所述，an??123n?1n(4?)b??4?b?4b?4? （II）若b?4时，cn?(b?4)(b?4) ......10分
3n?1，显然不满足条件，故b?4． 4
当b?4时，cn?4(b?1)bn3?()?．
b(b?4)4b?4 若b?4时，
4(b?1)?0，故当n???时，cn???，不符合条件，舍去．
b(b?4)4(b?1)3?0，? ?0，故从而cn为单调递减数列，且cn?0．
b(b?4)b?4 ①若0?b?1时，
所以，只须c1?a1?1?2即可，显然成立．故0?b?1符合条件； ......15分 4②若b?1时，cn?1，显然也满足条件．\\故b?1符合条件； ③若1?b?4时，
4(b?1)3?0，??0，从而cn为单调递增数列，因为c1?1?0．
b(b?4)b?4n??故cn?0，要使|cn|?2成立，只须limcn??故1?b?35?2即可．于是1?b?． b?425符合条件． 252综上所述，所求的实数b的范围是(0,]． ......20分
2020全国高中数学联合竞赛(四川初赛)(含解析)
