例2从盛满1升纯酒精的容器中倒出13升，然后用
水填满，再倒出13升，又用水填满，这样进行5次，
则容器中剩下的纯酒精的升数为多少？
变式：n次后？
小结：① 方法：摘要→审题；探究 → 结论； ② 解应用问题四步曲：审题→建模→解答→作答.
※ 动手试试
1111练1. 化简：(x2?y2)?(x4?y4).
练2. 已知x+x-1=3，求下列各式的值. 1（1）x2?x?132； （2）x2?x?32.
练3. 已知f(x)??x,x1?x2?0，试求f(x1)?f(x2)的值.
三、总结提升
※ 学习小结
1. 根式与分数指数幂的运算； 2. 乘法公式的运用.
※ 知识拓展
1. 立方和差公式：
a3?b3?(a?b)(a2?ab?b2)；
a3?b3?(a?b)(a2?ab?b2).
2. 完全立方公式：
(a?b)3?a3?3a2b?3ab2?b3； (a?b)3?a3?3a2b?3ab2?b3.
学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
31. 92的值为（ ）.
A.
3 B. 33 C. 3 D. 729
2.
a3ag5a4 (a>0)的值是（ ）.
人形容高尔夫的18洞就好像人生，障碍重重，坎坷不断。然而一旦踏上了球场，你就必须集中注意力，独立面对比赛中可能出现的各种困难，并且承担一切后果。也许，常常还会遇到这样的情况：你刚刚还在为抓到一个小鸟球而欢呼雀跃，下一刻大风就把小白球吹跑了；或者你才在上一个洞吞了柏忌，下一个洞你就为抓了老鹰而兴奋不已。
A. 1 B. a C. aD. a 3. 下列各式中成立的是（ ）.
1n777A．()?nm B．12(?3)4?3?3 mC．x?y?(x?y) D．
43334315 17109?33
1. 了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系；
2. 理解指数函数的概念和意义； 3. 能画出具体指数函数的图象，掌握指数函数的性质（单调性、特殊点）. 25?34. 化简()2= . 421511113266235. 化简(ab)(?3ab)?(ab)= .
3 学习过程 一、课前准备 （预习教材P54~ P57，找出疑惑之处） 复习1：零指数、负指数、分数指数幂怎样定义的？
0（1）a? ； （2）a?n? ；
（3）a? ；a? . 其中a?0,m,n?N*,n?1
复习2：有理指数幂的运算性质. （1）amgan? ；（2）(am)n? ； （3）(ab)n? .
二、新课导学
mn?mn 课后作业 1. 已知x?a?3?b?2, 求4x2?2a?3x?a?6的值.
2. 探究：nan?(na)n?2a时, 实数a和整数n所应满足的条件.
§2.1.2 指数函数及其性质（1）
学习目标 ※ 学习探究
探究任务一：指数函数模型思想及指数函数概念 实例：
A．细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，如此下去，如果第x次分裂得到y个细胞，那么细胞个数y与次数x的函数关系式是什么？
B．一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84％，那么以时间x年为自变量，残留量y的函数关系式是什么？
讨论：上面的两个函数有什么共同特征？底数是什么？指数是什么？
新知：一般地，函数y?ax(a?0,且a?1)叫做指数函数（exponential function），其中x是自变量，函数的定义域为R.
反思：为什么规定a＞0且a≠1呢？否则会出现什么情况呢？
只有凭借毅力，坚持到底，才有可能成为最后的赢家。这些磨练与考验使成长中的青少年受益匪浅。在种种历练之后，他们可以学会如何独立处理问题；如何调节情绪与心境，直面挫折，抵御压力；如何保持积极进取的心态去应对每一次挑战。往往有着超越年龄的成熟与自信，独立性和处理问题的能力都比较强。
试试：举出几个生活中有关指数模型的例子？
探究任务二：指数函数的图象和性质
引言：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？
回顾： 研究方法：画出函数图象，结合图象研究函数性质． 研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．
作图：在同一坐标系中画出下列函数图象：
1 y?()x， y?2x
2
讨论：
1（1）函数y?2x与y?()x的图象有什么关系？如
21何由y?2x的图象画出y?()x的图象？
2
（2）根据两个函数的图象的特征，归纳出这两个
1指数函数的性质. 变底数为3或后呢？
3
新知：根据图象归纳指数函数的性质. a>1 0 小结：①确定指数函数重要要素是 ； ② 待定系数法. 例2比较下列各组中两个值的大小： （1）20.6,20.5； （2）0.9?2,0.9?1.5 ； （3）2.10.5,0.52.1 ； （4）?2?3与1. 小结：利用单调性比大小；或间接利用中间数. ※ 动手试试 练1. 已知下列不等式，试比较m、n的大小： 22（1）()m?()n； （2） 1.1m?1.1n. 33 练2. 比较大小： （1）a?0.80.7,b?0.80.9,c?1.20.8； （2）10,0.4?2.5,2?0.2,2.51.6. 三、总结提升 ※ 学习小结 ①指数函数模型应用思想；②指数函数概念；③指 数函数的图象与性质；③单调法. ※ 典型例题 xa?0,且a?1）例1函数f(x)?a（的图象过点(2,?)，※ 知识拓展 求f(0),f(?1),f(1)的值. 因为y?ax(a?0，且a?1)的定义域是R， 所以 y?af(x)(a?0，且a?1)的定义域与f(x)的定义域 人形容高尔夫的18洞就好像人生，障碍重重，坎坷不断。然而一旦踏上了球场，你就必须集中注意力，独立面对比赛中可能出现的各种困难，并且承担一切后果。也许，常常还会遇到这样的情况：你刚刚还在为抓到一个小鸟球而欢呼雀跃，下一刻大风就把小白球吹跑了；或者你才在上一个洞吞了柏忌，下一个洞你就为抓了老鹰而兴奋不已。 相同. 而y??(ax)(a?0，且a?1)的定义域，由y??(t)的定义域确定. 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 函数y?(a2?3a?3)ax是指数函数，则a的值为（ ）. A. 1 B. 2 C. 1或2 D. 任意值 2. 函数f(x)=ax?2?1 (a>0,a≠1)的图象恒过定点（ ）. A. (0,1) B. (0,2) C. (2,1) D. (2,2) 3. 指数函数①f(x)?mx，②g(x)?nx满足不等式 0?m?n?1，则它们的图象是（ ）. §2.1.2 指数函数及其性质（2） 学习目标 1. 熟练掌握指数函数概念、图象、性质； 2. 掌握指数型函数的定义域、值域，会判断其单调性； 3. 培养数学应用意识. 学习过程 一、课前准备 （预习教材P57~ P60，找出疑惑之处） 复习1：指数函数的形式是 ， 其图象与性质如下 a>1 0 4. 比较大小：(?2.5) (?2.5). 15. 函数y?()x?1的定义域为 . 9 23 45 课后作业 1. 求函数y= 15x1?x的定义域. ?1 2. 探究：在[m，n]上，f(x)?ax(a?0且a?1)值域？ (1)定义域： 性 (2)值域： 质 (3)过定点： (4) 单调性： 复习2：在同一坐标系中，作出函数图象的草图： 111y?2x,y?()x,y?5x,y?()x, y?10x,y?()x. 2510 思考：指数函数的图象具有怎样的分布规律？ 只有凭借毅力，坚持到底，才有可能成为最后的赢家。这些磨练与考验使成长中的青少年受益匪浅。在种种历练之后，他们可以学会如何独立处理问题；如何调节情绪与心境，直面挫折，抵御压力；如何保持积极进取的心态去应对每一次挑战。往往有着超越年龄的成熟与自信，独立性和处理问题的能力都比较强。 二、新课导学 ※ 典型例题 例1我国人口问题非常突出，在耕地面积只占世界7%的国土上，却养育着22%的世界人口．因此，中国的人口问题是公认的社会问题．2000年第五次人口普查，中国人口已达到13亿，年增长率约为1%．为了有效地控制人口过快增长，实行计划生育成为我国一项基本国策． （1）按照上述材料中的1%的增长率，从2000年起，x年后我国的人口将达到2000年的多少倍？ （2）从2000年起到2024年我国人口将达到多少？ 小结：学会读题摘要；掌握从特殊到一般的归纳法. 试试：2007年某镇工业总产值为100亿，计划今后每年平均增长率为8%, 经过x年后的总产值为原来的多少倍？多少年后产值能达到120亿？ 小结：指数函数增长模型. 设原有量N，每次的增长率为p，则经过x次增长后的总量y= . 我们把形如y?kax (k?R,a?0,且a?1)的函数称为指数型函数. 例2 求下列函数的定义域、值域： 1（1）y?2x?1; （2）y?35x?1; （3）y?0.4x?1. 变式：单调性如何？ 小结：单调法、基本函数法、图象法、观察法. 试试：求函数y?2?x?12的定义域和值域，并讨论其单调性. ※ 动手试试 练1. 求指数函数y?2x2?1的定义域和值域，并讨论其单调性. 练2. 已知下列不等式，比较m,n的大小. （1）3m?3n； （2）0.6m?0.6n； （3）am?an(a?1) ；（4） am?an(0?a?1). 练3. 一片树林中现有木材30000 m3，如果每年增长5%，经过x年树林中有木材y m3，写出x，y间的函数关系式，并利用图象求约经过多少年，木材可以增加到40000m3.
高中数学 必修1 第2章 基本初等函数 讲义
