等差数列前n项和公式推导及简单应用

教案

学科 教师 单位 教学目标 课题 班级 等差数列前n项和公式推导及简单应用 高一一班 地点 多媒体教室 1.知识与能力： (1)掌握等差数列前n项和公式的推导方法；掌握公式的运用。 (2)通过公式的探索、发现，在知识发生、发展以及形成过程中培养学生观察、联想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力。 2.过程与方法:从令人着迷的数学史，生动具体的现实问题出发，教师引导，学生主动探索的方法和步骤得出等差数列前n项和公式并总结方法的教学过程。采用探索发现，直观演示的教学方法; 渗透特殊到一般、类比与转化、等数学思想。 3.情感、态度与价值观：激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感。 教学重点 等差数列前n项和公式及简单应用 获得推导公式思路 “特殊－猜想－证明－应用” 教学难点 教学模式 学习方法 多媒体优化组合—激励—发现 备注 先回顾复习了与本节内容紧密相关的知识点。 接着以科学小故事创设情景，激发学生的兴趣。培养学生善于观察，敢于思考精神。 为求等差数列之和，借助图形迭加 一、复习回顾：1. 等差数列的定义 2. 等差数列的通项公式是什么？ 3. 等差数列的特殊性质 教 二、 创设情景，导入新课。 师：讲著名的数学家 高斯（德国 1777-1855）十岁时计算 1+2+3+…+100的\神速求和\故事。 问：高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢？如果大学 家也懂得那样巧妙计算，那你们就是二十世纪末的新高 斯。（教师观察学生的表情反映）让学生自行发言解答。 师评：（1）作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考， 所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性过 的东西。 （2）该故事还告诉我们求等差数列前n项和的一种很重要 的思想方法，这就是下面我们要介绍的数列求和的“倒 序相加”法。 程 先看一堆钢管：（如图） 为了求得这堆钢管之和，再拿一堆与此相同的钢管，把它 翻转过来迭在一起。（如图所示）。 这时每层管子数目 相同即： 3＋6＝4＋5＝5＋4 ＝6＋3 共4层，所以管子总数为：[(3+6)×4]＝18。 三、尝试推导 师：如果已知等差数列的首项a1，项数为n，第n项an，根 据等差数列的性质，如何来导出它的前n项和Sn计算公 式呢？根据上面的例子同学们自己完成推导，并请一位 学生板演。 （推略）得公式，Sn=(I) 生： 师：好！如果已知等差数列的首项为a1，公差为d，项数为n， 则an=a1+(n-1)d代入公式(1)得 Sn=na1+ d(II) 教四、公式记忆：用梯形面积公式记忆等差数列前n项和公式，学这里对图形进行了割、补两种处理，对应着等差数列前过n项和的两个公式. 程 五、公式的基本应用： 1.五个元素:a1,an,d,n,Sn“知三求二”； 组合，利用“倒序相加”法导出求和公式。并说明其几何意义。 有了求和公课堂小练（见大屏幕） 2.构造数列解决实际问题； 知识应用举例： 例1、如图一个堆放铅笔的V型架上最下面一层放着一支铅笔，每往上一层多放一支铅笔，最上一层放120支铅笔，求这堆铅笔 总数。 解：∵a1=1,a2=2, …an=n=120. ∴Sn=(a1+an)n/2=(1+120)×120/2=7260 答:这堆铅笔共7260根。 例2、等差数列－10，－6，－2，2，….前多少项之和是54？ 解：设题中的等差数列为｛an｝，前n项和是Sn，则a1= -10，d=-6-(-10)=4。 设Sn＝54，根据等差数列前n项和公式，得 －10n＋n（n－1）×4/2＝54。 整理得: n2-6n-27=0. 解得：n1＝9，, n2＝－3（舍去）。 因此－10，－6，－2，2，….前9项之和是54。 巩固练习：（见大屏幕） 2、用整体观点认识Sn公式。 例3，在等差数列{an}， （1）已知a2+a5+a12+a15=36，求S16；（2）已知a6=20，求S11。（教师启发学生解） 师：（简单小结）这个题目根据已知等式是不能直接求出a1，a16和d的，但由等差数列的性质可求a1与an的和，于是这个问题就得到解决。这是整体思想在解数学问题的体现。 习题演练，巩固提高 六、课堂小结 1.等差数列前n项和Sn公式的推导(倒序相加法)并能应用. 2.等差数列前n项和Sn公式的记忆与应用； 3.由 Sn .an ,d, a1 , n 知三而可求二 . 4.整体思想解数学问题. 七、布制作业 1：课本P118习题3.3 1, 3, 4，5 2：思考：若一个数列是等差数列，试研究S奇/S偶 八、预习提纲： ①看例3，例4，总结方法。 ②如何从函数的观点来考虑等差数列的前项和公式。 ③ 做优化设计 第3.3节,第一课时。 式，对数列的五 个元素，要懂得“知三求二”。 举例举三例主要用于巩固求和公式其应用，并渗透整体的数学思想。 课堂小结给出了公式三，以及通项与n项和的关系。为后面知识展开埋下伏笔。 课题 等差数列前n项和公式推导及简单应用 1. 公式推导（倒序相加法) 板 n（a1?an)Sn?书 Sn?na1?2设 计 2.简单应用 n（n?1)d2