概率论与数理统计课后习题答案
第二章
1.一袋中有5 只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X表示取出的3只
球中的最 大号码，写出随机变量X的分布律. 【解】
X?3,4,5P(X?3)?P(X?4)?1?0.13C53 ?0.3C35C24P(X?5)?3?0.6C5故所求分布律 为 X P 3 4 5 2.设在15只同 类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出 的次品个数，求： （1） X的分 布律；
（2） X的分 布函数并作图； (3)
P{X?},P{1?X?},P{1?X?},P{1?X?2}.
【解】
123232X?0,1,2.3C1322P(X?0)?3?.C1535
2C112 2C13P(X?1)?3?.C1535C11P(X?2)?13?.3C1535故X的分布律为 X 0 1 2 P 223512 351 35 （2） 当x<0时， F（x）=P（X≤x）=0
当0≤x<1时 ，F（x）=P（X≤x）=P(X=0)=
22 3534 35当1≤x<2时 ，F（x）=P（X≤x）=P(X=0)+P(X=1)=当x≥2时， F（x）=P（X≤x）=1 故X的分布函 数
x?0?0,?22?,0?x?1?35 F(x)??
?34,1?x?2?35?1,x?2?(3)
3.射手向目标独立 地进行了3次射击，每次击中率为，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函 数，并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】
设X表示击中目标的次数.则X=0，1，2，3.
P(X?0)?(0.2)3?0.008
2P(X?1)?C130.8(0.2)?0.096P(X?2)?C(0.8)0.2?0.384P(X?3)?(0.8)3?0.512232
故X的 分布律为 X 0 P 分布函数
1 2 3
x?0?0,?0.008,0?x?1??F(x)??0.104,1?x?2
?0.488,2?x?3?x?3??1,P(X?2)?P(X?2)?P(X?3)?0.896
4.（1） 设随机变量X的分布律为
P{X=k}=a?kk!，
其中k=0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a.
（2） 设随机变量X的分布律为
P{X=k}=a/N， k=1，2，…，N，
试确定常数a. 【解】（1） 由分布律的性质知
1??P(X?k)?a?k?0k?0???kk!?age?
故 a?e??
(2) 由分布律的性质知
NN1??P(X?k)??k?1k?1a?a N即 a?1.
5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为,,今各投3次，求： （1） 两人投中次数相等的概率; （2） 甲比乙投中次数多的概率.
【解】分别令X、Y表示甲、乙投中次数，则X~b（3，）,Y~b(3,
(1)
P(X?3,Y?3)
212?(0.4)3(0.3)3?C130.6(0.4)C30.7(0.3)+
222233 C3(0.6)0.4C3(0.7)0.3?(0.6)(0.7)
?0.32076
(2)
=
6.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为，且设各飞机
降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降 落而没有空闲跑道的概率小于(每条跑道只能允许一架飞机降落)
【 解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数，则X~b(200,，设机场需配备N条跑道，则有
P(X?N)?0.01
即 利用泊松近似
k?N?1?200k200?kCk?0.01 200(0.02)(0.98) ??np?200?0.02?4.
e?44k?0.01 P(X?N)B?k!k?N?1?查表得N≥9.故机场至少应配备9条跑道.
7.有 一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为 1,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊 松定理） 【解】设X表示出事故的次数，则X~b（1000， 001）
8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X满足P{X= 1}=P{X=2}，求概率P{X=4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为p，则
故
4所以 P(X?4)?C5()413210. ?32439.设事件A在每一次试验中发生的概率为，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号， （1） 进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率； （2） 进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率. 【解】（1） 设X表示5次独立试验中A发生的次数，则X~6（5，）
kP(X?3)??C5(0.3)k(0.7)5?k?0.16308
k?35(2) 令Y表示7次独立试验中A发生的次数，则Y~b（7，）
kP(Y?3)??C7(0.3)k(0.7)7?k?0.35293
k?3710.某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为（1/2）t的泊松分
布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）.
（1） 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率； （ 2） 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率. 【解】（1 ）P(X?0)?e11.设P{ X=k}=C2p(1?p)kk?32 (2) P(X?1)?1?P(X?0)?1?e, k=0,1,2
?52
2?kP{Y=m}=
m4?mCm, m=0,1,2,3,4 4p(1?p)分别为随机变量X，Y的概率分布，如果已知P{X≥1}=【解】因为P(X?1)?5，试求P{Y≥1}. 954，故P(X?1)?. 992而 P(X?1)?P(X?0)?(1?p)
4, 91即 p?.
3故得 (1?p)2?从而 P(Y?1)?1?P(Y?0)?1?(1?p)4?65?0.80247 8112.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为，试求在这2000册书中恰有
5册错误的概率.
【解】令X为2000册书中错误的册数，则X~b(2000,.利用泊松近似计算,
??np?2000?0.001?2
e?225?0.0018 得 P(X?5)?5!13.进行某种试验，成功的概率为
31，失败的概率为.以X表示试验首次成功所需试验的次44数，试写出X的分布律，并计算X取偶数的概率. 【解】X?1,2,L,k,L
13P(X?k)?()k?1
44P(X?2)?P(X?4)?L?P(X?2k)?L
131313?g?()3?L?()2k?1?L 444444131?g4? 41?(1)25414.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡
的概率为，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求： （1） 保险公司亏本的概率;
（2） 保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率. 【解】以“年”为单位来考虑.
（1） 在1月1日，保险公司总收入为2500×12=30000元. 设1年中死亡人数为X，则X~b(2500,，则所求概率为
P(2000X?30000)?P(X?15)?1?P(X?14)
由于n很大，p很小，λ=np=5，故用泊松近似，有
e?55kP(X?15)?1???0.000069
k!k?014(2) P(保险公司获利不少于10000)
概率论与数理统计第二章课后习题答案
