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如何证明线段相等或成倍数关系
一
【典型例题】
（一）线段相等：证明线段相等的方法很多，主要有三角形全等、等腰三角形的判定、线段垂直平分线定理、角平分线定理、平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质和判定定理。另外证明线段相等还有一类题型，就是证明两条线段的和或差等于某一条线段，此种类型往往采用截长补短的方法进行证明。在例题讲解中，会出现此种类型的题目，请同学们注意。下面，我们就分析几个例题，希望能通过讲解，使同学逐步掌握证明线段相同的方法。
例1. 已知：四边形ABCD中，AD＝BC，AC＝BD。 求证：OA＝OB
D13CO24AB例2. △ABC中，AB＝AC，D是AB上一点，E是AC延长线上一点，且BD＝CE，
DE交BC于F。
求证：DF＝EF
ADBMFCE 例3. 已知：如图，AD//BC，BD平分∠ABC。 求证：AB＝AD
A31D2BC 例4. 已知：在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，且AE＝CF。 求证：DE＝BF
AEFBCD -/
例5. 已知：在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于E，若AB＝8，DE＝3，求BE两点间的距离。
BDAEC例6. 在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ACB＝2∠B，求证：AB＝AC＋CD。
A12BDCE 11（二）线段2倍、4倍或、倍的关系：
24 这部分证明中常用到的定理有：
（1）直角三角形中，30°的角对的直角边等于斜边的一半。 （2）直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。 （3）中位线定理。
下面就以几个例子来说明如何使用这三个定理解决线段倍数关系的证明。 例1. 已知：在△ABC中，M是BC的中点，CE⊥AB，BF⊥AC。 求证：EM＝FM
AEFBMC 例2. 在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD是AB边上的高。
求证：BD?1AB 4C1BDA
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例3. 已知：在△ABC中，AB＝AC，EF是△ABC的中位线，延长AB到D，使BD＝AB，连接CD。 求证：CE?1CD 2AEBFCD 2. 如图，在△MNP中，∠MNP?45?，H是高MQ与NR的交点。 求证：HN＝PM MRHQNP 3. 已知：如图△DEF中，DE＝DF，过EF上一点A作直线分别与DE、DF的延长线交于B、C，且BE＝CF。 求证：AB＝AC EBADCF 4. 在△ABC中，AB＝AC＝9cm，∠BAC?120?，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的平分线，DF//AB交AE的延长线于F。求DF的长。 AEBFDC 5. 已知：点B在MN上，过AB的中点O作MN的平行线，分别交∠ABM的平分线和∠ABN的平分线于C、D。 -/
求证：CD＝AB ACMBODN 6. 在△ABC中，AB＝AC，DE是AB的垂直平分线，△BCE的周长是24，BC＝10，求AB的长。 ADEBC 7. 已知：E是正方形ABCD边BC上的中点，F是CD上一点，AE平分∠BAF。 求证：AF＝BC＋CF ADAFBECEBDFC 8. 已知：在△ABC中，∠BAC?90?，E、F分别是AB、AC边上的点，且EFDC是平行四边形，D是BC的中点。 求证：AD＝EF
9. 在△ABC中，AB＝AC，∠B?15?，求证：AB上的高线等于AB的一半。 10. 已知：在△ABC中，AD⊥BC，E是AC的中点，∠EBD?30?。 求证：AD＝BE AE30°BDC 【试题答案】
1. ?BF?FC?BC，CE?FC?EF
?BF?CE?BC?EF
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
??AB?DE?BC?EF ??ABC??DEF
?AC?DF 2. ?MQ?PN，?MNP?45?
?∠NMQ?45??∠MNP?∠NMQ?QM?QN
?∠PMQ?180??∠MRH?∠MHR∠HNQ?180??∠NHQ?∠NQH?∠MHR?∠NHQ∠MRH?∠NQH?∠PMQ?∠HNQ??∠PMQ?∠HNQ?MQ?NQ??∠NQH?∠MQP ??MPQ??NHQ
?HN?PM 3. 过B作BG//CD交EF于G
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EG2B6A4531DCF
证明线段相等或成倍数关系的巧妙方法
