2015年上海高考数学（文科）试题解析版
一、填空题（本大题共14小题，每题4分，满分56分） 1、函数f?x??1?3sin2x的最小正周期为 _________.
分析：本题是基础题目，主要考查余弦的二倍角公式，属于常考题目。 答案：π
2、设全集U?R，若集合A??1,2,3,4?，B??x|2?x?3?，则A?CUB?_________. 分析：本题考查了学生的集合运算，属于基础题目和常考题目 。 答案：{1,4}
3、若复数z满足3z?z?1?i，其中i为虚数单位，则z?___________. 分析：考查复数基本形式及共轭复数的概念，属于基础题目和常规题目。
_11?i答案：42
4、设f?1?x?为f?x??x的反函数，则f2x?1?1?2?? ___________. 分析：考查了反函数的知识点，较为基础。
2答案：3
??x?3?23c1?5、若线性方程组的增广矩阵为??01c??，解为?y?5，则c1?c2? ___________. 2???分析：考查了二元一次方程组增广矩阵的概念，属于基础知识，但考前这个小知识点被遗漏的学校较多。 答案：16
6、若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为163，则a?___________.
分析：首先考查了学生对于正三棱柱的认识，其次考查了棱柱的体积公式，题型和知识点较为常规。 答案：4
7、抛物线y2?2px?p?0?上的动点Q到其焦点距离的最小值为1，则p?___________.
分析：考查了抛物线上的点到焦点的距离问题，可以通过第一定义，将到焦点的距离转化成到准线的距离，这样题
目就非常容易解决掉。 答案：2
8、方程log29x?1?5?log23x?1?2?2的解为___________.
分析：考查了对数方程的知识点，通过对数运算，去掉对数符号，解出方程的根，易错点为根的验证。 答案：2
?????x?y?0?9、若x,y满足?x?y?2，则目标函数f?x??x?2y的最大值为___________.
?y?0?分析：本题是线性规划的知识点，属于文科拓展的内容，问题比较直接，并没有拐弯难为学生。 答案：3
10、在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）
分析：排列组合知识点出现在第十题这个位置，相比较模拟卷和往年高考卷，难度不算大，可以用容易来形容。 答案：120
1??11、在?2x?2?的二项展开式中，常数项等于 （结果用数值表示）.
x??6分析：考察了二项式定理的通项公式，知识点比较简单，本题的指数不算大，很多同学可以把二项式展开做；数理
统计的内容在考卷中连续出现两题，而且较为简单，往年高考中很少见到。 答案：240
x212、已知双曲线C1、C2的顶点重合，C1的方程为?y2?1，若C2的一条渐近线的斜率是C1的一条渐近线的斜率
4的2倍，则C2的方程为___________. 分析：考察了共渐近线的双曲线方程求法，根据顶点相同，可进一步确定双曲线方程；如果本题“斜率的2倍”改成“倾斜角的2倍”，所考查的知识点就多一些，本题相对简单，尤其是出现在12题的位置。
22x?y?4 答案：
13、已知平面向量a,b,c满足a?b，且a,b,c为___________.
????1,2,3?，则a?b?c的最大值
rr分析：首先考查了集合元素的互异性，可能很多同学会填9；解决本题的最好方法就是数形结合，因为已知a和b之
间的关系，在通过向量平行且同向时相加模最大，就能够很容易解决本题目。 答案：3?5 14、已知函数
f?x??sinx，存在
x1,x2,?xm，满足
0?x1?x2???xm?6?，且
f?x1??f?x2??f?x2??f?x3????f?xm?1??f?xm??12,m?2,m?N?，则m的最小值为____.
??分析：本题属于压轴的填空题，难度比前面的十三道题都提升了很大一个档次，首先考查了正弦函数的知识点，其次是要理解绝对值的含义，因为要求m得最小值，所以要尽可能的使得每个绝对值的值尽可能的大，所以会利用正弦函数的最大值和最小值。 答案：8
二、选择题（本大题共4小题，每题5分，满分20分）
15、设z1,z2?C，则“z1、z2均为实数”是“z1?z2为实数”的（ ） A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件下 D、既不充分也不必要条件
分析：基础题目，考查了条件与命题和复数的定义。 答案：A
16、下列不等式中，与不等式
x?8x?2x?32?2解集相同的是（ ）
A、?x?8?x2?2x?3?2 B、 ?x?8??2x2?2x?3 x2?2x?312C、2 D、? ?x?82x?8x?2x?31????分析：考查了学生对于分式不等式解法的步骤或者等价性，属于基础题目。 答案：B
17、已知点A的坐标为43,1，将OA坐标原点O逆时针方向旋转A、
???至OB，则B点的纵坐标为（ ） 333531113 B、 C、 D、 2222分析：考查了任意角的三角比的概念及正弦的两角和公式，属于中等题目，但与往年的模拟考中的一道题只是换了
一下数据。 答案：D
18、设Pn?xn,yn?是直线2x?y?y?1n22?（ ） n?N?与圆x?y?2在第一象限的交点，则极限limnn??xn?1n?1??1A、?1 B、? C、1 D、2
2分析:本题的知识点属于极限的求法，但实际上在解题时会先取极限再求值；因为Pn?xn,yn?的极限位置为(1,1)点，而题目中所要求的是Pn?xn,yn?与(1,1)构成的斜率的极限，由于两点都在圆上，而且无线逼近，可以得到斜率的极限为过(1,1)与圆相切时的斜率。 答案：A
三、解答题（本题共5大题，满分74分）
19、（本题满分12分）如图，圆锥的顶点为P，底面圆心为O，底面的一条直径为AB，C为半圆弧AB的中点，
E为劣弧BC的中点，已知PO?2，OA?1，求三棱锥P?AOC的体积，并求异面直线PA与OE所成角。
分析：本题考查了圆锥的体积公式和异面直线夹角的求法，属于比较基础的题目，几何法主要通过中位线，把已知直线平移到同一个平面内即可，因为垂直关系比较容易找到，从而线段的长度也就容易计算了。
101arccos10 答案：3，
20、（本题满分14分）已知函数f?x??ax2?，其中a为常数， （1）根据a的不同取值，判断f?x?的奇偶性，并说明理由； （2）若a??1,3?，判断f?x?在[1,2]上的单调性，并说明理由。
分析：比较简单的一类奇偶性的判断和证明，首先要注意本题要求先判断，所以解题时要把结论写在前面，然后再去证明；第二问考查了函数单调性的一般步骤，及时含有参数，也比较容易能够判别符号。总体来说本题考查的知识点偏基础。
答案：（1）a?0时，f(x)为奇函数；
1xa?0时，f(x)非奇非偶。
（2）单调递增。
21（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 、
如图，A，B，C三地有直道相通，AB?5千米，AC?3千米，BC?4千米．现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地，经过t小时，他们之间的距离为f(t)（单位：千米）．甲的路线是AB，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB，速度为8千米/小时．乙到达B地后在原地等待．设t?t1时，乙到达C地．
（1）求t1与f(t1)的值；
（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米．当t1?t?1时，求f(t)的表达式，并判断f(t)在[t1,1]上的最大值是否超过3? 说明理由．
分析：本题是解三角形与函数最值综合的一道应用题，虽然牵扯到分段函数，但并不是很难，主要考察学生的基础知识——余弦定理的应用及二次函数求最值求法. 答案：（1）t1?AC315=h，设此时甲运动到P点，则AP?v甲t1=km，在VAPC中，f?t1??PC?v乙88341 8AC2?AP2?2AC?APcosA?（2）当t1?t?7时，乙在CB上，设为Q点，设此时甲在P点，则：QB?AC?CB?8t?7?8t，8PB?AB?AP?5?5t
?f(t)?PQ?QB2?PB2?2QB?PBcosB?25t2?42t?18，
当
7?t?1时，乙在B点不动，设此时甲在P点，则：f(t)?PB?AB?AP?5?5t， 837?225t?42t?18,?t???88?f(t)??
7?5?5t,?t?1?8?3413413]，且?3?f(t)的最大值超过了3km. ?当?t?1时，f(t)?[0,88822、（本题满分16分）本题共有2个小题．第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
22已知椭圆x?2y?1，过原点的两条直线l1和l2分别与椭圆交于点A、B和C、D，记得到的平行四边形ACBD的面积为S．
（1）设A(x1,y1)，C(x2,y2)，用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S?2x1y2?x2y1； ?33??，S?1，求k的值； （2）设l1：y?kx，C?,?33?3??（3）设直线l1和l2的斜率之积为m，求m的值，使得无论l1和l2如何变动，面积S保持不变。
分析：本题属于中等偏易的题目.考察了学生直线方程求法和点到直线的距离公式，题目中语言的叙述和问题的提
出具有引导作用，很有层次感，只是在整个运算过程中多为字母运算，提升了运算的难度，侧面也反应出计算能力的提升为考试的主要趋势。第一问面积的求法，在2013年闸北二模卷中出现过类似的题目，当时是文科填空第二题，主要是考察利用矩阵求三角形面积；第二问只需联立直线与椭圆的方程，解出A(x1,y1)然后再带入第一问的公式即可求出k；第三问考查了一个恒成立问题，直线l1和l2的斜率无论怎么变化S始终不变，所以只需得出的等式中，将斜率作为未知量，其余作为已知量，然后未知量的系数为0即可。 解：（1）直线l1的方程为：y?y1x， x1y1x2?y2x1?y?1??1??x1?22则点C到直线l1的距离为：d(C,l1)??y1x2?x1y2x?y2121，
（方法1）又AB?2AO?2x1?y1，?S?AB?d(C,l1)?2x1y2?x2y1. （方法2）
2S?2?1?x12x2x1y1y211?y11??x1y1?x2y1?x1y2?x2y1?x1y2?x1y1?2x1y2?x2y1
上海高考数学(文科)试题答案详解
