!-
专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析: 根据双曲线方程,算出它的右顶点为F(2,0),也是抛物线的焦点.由此设出抛物线方程为y=2px,(p>0),结合抛物线焦点坐标的公式,可得p=4,从而得出该抛物线的标准方程.
解答: 解:∵双曲线的方程为∴a=4,得a=2,
∴抛物线的焦点为F(2,0),
设抛物线方程为y=2px,(p>0),则=2,得2p=8
∴抛物线方程是y=8x. 故选:C.
点评: 本题给出抛物线焦点与已知双曲线的右焦点重合,求抛物线的标准方程,着重考查了双曲线、抛物线的标准方程与简单几何性质等知识,属于基础题.
6.方程mx+ny=0与mx+ny=1(|m|>|n|>0)的曲线在同一坐标系中的示意图应是( )
2
2
2
22
2
2
﹣=1,
A. B.
考点: 曲线与方程.
专题: 作图题;分类讨论.
C. D.
分析: 当 m和n同号时,抛物线开口向左,方程mx+ny=1(|m|>|n|>0)表示焦点在y
轴上的椭圆,
当m和n异号时,抛物线 y=﹣线.
解答: 解:方程mx+ny=0 即 y=﹣示椭圆或双曲线.
当 m和n同号时,抛物线开口向左,方程mx+ny=1(|m|>|n|>0)表示焦点在y轴上的椭圆,无符合条件的选项. 当m和n异号时,抛物线 y=﹣
2
2
2
2
22
22
开口向右,方程mx+ny=1(|m|>|n|>0)表示 双曲
22
,表示抛物线,方程mx+ny=1(|m|>|n|>0)表
22
开口向右,方程mx+ny=1(|m|>|n|>0)表示 双曲
22
线, 故选 A.
点评: 本题考查根据曲线的方程判断曲线的形状,体现了分类头论的数学思想,分类讨论是解题的关键.
!-
7.已知命题p:若实数x,y满足x+y=0,则x,y全为0;命题q:若
22
,下
列为真命题的是( )
A. p∧q B. p∨q C. ¬p D. (¬p)∧(¬q)
考点: 复合命题的真假. 专题: 规律型. 分析: 分别判断命题p,q的真假,利用复合命题与简单命题真假之间的关系进行判断即可. 解答: 解:若实数x,y满足x+y=0,则x,y全为0,∴p为真命题. 当a=1,b=﹣1时,满足a>b,但
不成立,∴q为假命题.
2
2
∴p∧q为假命题,p∨q为真命题,¬p为假命题,(¬p)∧(¬q)为假命题, 故选:B.
点评: 本题主要考查复合命题与简单命题真假之间的关系,先判断简单命题p,q的真假是解决本题的关键. 8.已知椭圆
+
=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,点B在椭圆上,且BF⊥x轴,
直线AB交y轴于点P.若 A.
B.
=2,则椭圆的离心率是( )
C. D.
考点: 椭圆的简单性质.
专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析: 先求出点B的坐标,设出点P的坐标,利用 出离心率.
解答: 解:如图,由于BF⊥x轴,故xB=﹣c,yB =∵
=2
,
﹣t).
,设P(0,t), =2
,得到a与c的关系,从而求
∴(﹣a,t)=2(﹣c,∴a=2c, ∴e==, 故选 D.
!-
点评: 本题考查椭圆的简单性质以及向量坐标形式的运算法则的应用,体现了数形结合的数学思想.
9.若双曲线的顶点为椭圆
长轴的端点,且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的
积为1,则双曲线的方程是( )
A. x﹣y=1 B. y﹣x=1 C. x﹣y=2 D. y﹣x=2
考点: 椭圆的简单性质;双曲线的标准方程. 专题: 计算题.
分析: 根据椭圆方程求得其长轴的端点坐标和离心率,进而可得双曲线的顶点和离心率,求得双曲线的实半轴和虚半轴的长,进而可得双曲线的方程. 解答: 解:由题意设双曲线方程为
,离心率为e
2
2
2
2
2
2
2
2
椭圆长轴的端点是(0,),所以a=.
∵椭圆的离心率为
∴双曲线的离心率e=,?c=2,
∴b=,
22
则双曲线的方程是y﹣x=2. 故选D.
点评: 本题主要考查了双曲线的性质和椭圆的标准方程.要记住双曲线和椭圆的定义和性质.
10.已知命题p:存在实数m使m+1≤0,命题q:对任意x∈R都有x+mx+1>0,若p且q为假命题,则实数m的取值范围为( )
A. (﹣∞,﹣2] B. [2,+∞) C. (﹣∞,﹣2]∪(﹣1,+∞) D. [﹣2,2]
考点: 复合命题的真假. 专题: 规律型.
分析: 先求出命题p,q为真命题的等价条件,利用p且q为假命题,即可求实数m的取值范围.
2
!-
解答: 解:若存在实数m使m+1≤0,则m≤﹣1,∴p:m≤﹣1. 若对任意x∈R都有x+mx+1>0,
2
则对应的判别式△=m﹣4<0,解得﹣2<m<2,即q:﹣2<m<2, ∴p且q为真时,有
,即﹣2<m≤﹣1.
2
∴若p且q为假命题, 则m>﹣1或m≤﹣2,
即实数m的取值范围为(﹣∞,﹣2]∪(﹣1,+∞). 故选:C.
点评: 本题主要考查复合命题与简单命题真假之间的关系,先求出p且q为真时的等价条件是解决本题的关键.
11.过双曲线
2
的左焦点F(﹣c,0)(c>0)作圆x+y=a的切线,
222
切点为E,延长FE交抛物线y=4cx于点P.若( ) A.
B.
C.
D.
,则双曲线的离心率为
考点: 双曲线的简单性质. 专题: 综合题.
分析: 先设双曲线的右焦点为F',则F'的坐标为(c,0),因为抛物线为y=4cx,所以F'为抛物线的焦点,O为FF'的中点,又可得E为FP的中点,所以OE为△PFF'的中位线,得到|PF|=2b,再设P(x,y) 过点F作x轴的垂线,由勾股定理得出关于a,c的关系式,最后即可求得离心率.
解答: 解:设双曲线的右焦点为F',则F'的坐标为(c,0) ∵抛物线为y=4cx,
∴F'为抛物线的焦点,O为FF'的中点, ∵
2
2
∴E为FP的中点
∴OE为△PFF'的中位线, ∵O为FF'的中点 ∴OE∥PF' ∵|OE|=a ∴|PF'|=2a ∵PF切圆O于E ∴OE⊥PF ∴PF'⊥PF, ∵|FF'|=2c ∴|PF|=2b
!-
设P(x,y),则x+c=2a,∴x=2a﹣c
过点F作x轴的垂线,则点P到该垂线的距离为2a 由勾股定理 y+4a=4b∴4c(2a﹣c)+4a=4(c﹣a) 2
∴e﹣e﹣1=0 ∵e>1 ∴e=
.
2
2
2
2
2
2
故选B.
点评: 本题主要考查双曲线的标准方程,以及双曲线的简单性质的应用等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于中档题.
12.如图所示,F为双曲线C:
﹣
=1的左焦点,双曲线C上的点Pi与P7﹣i(i=1,2,3)
关于y轴对称,则|P1F|+|P2F|+|P3F|﹣|P4F|﹣|P5F|﹣|P6F|的值是( )
A. 9 B. 16 C. 18 D. 27
考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题.
分析: 首先设右焦点为F′,由点Pi与P7﹣i(i=1,2,3)关于y轴对称以及双曲线的对称性得出|FP1|=|F′P6|,|FP2|=|F′P5|,|FP3|=|F′P4|,然后根据双曲线的定义得出|F′P6|﹣|P6F|=2a=6,|F′P5|﹣|P5F|=2a=6,|F′P4|﹣|P4F|=2a=6,进而求出结果. 解答: 解:设右焦点为F′,
∵双曲线C上的点Pi与P7﹣i(i=1,2,3)关于y轴对称 ∴P1和P6,P2和P5,P3和P4分别关于y轴对称
∴|FP1|=|F′P6|,|FP2|=|F′P5|,|FP3|=|F′P4|,
∵|F′P6|﹣|P6F|=2a=6,|F′P5|﹣|P5F|=2a=6,|F′P4|﹣|P4F|=2a=6,
∴|P1F|+|P2F|+|P3F|﹣|P4F|﹣|P5F|﹣|P6F|=(|F′P6|﹣|P6F|)+(|F′P5|﹣|P5F|)+(|F′P4|﹣|P4F|)=18 故选C.
点评: 本题考查了双曲线的性质,灵活运用双曲线的定义,正确运用对称性是解题的关键,属于中档题.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把正确答案填在答题纸的横线上,填在试卷上的答案无效.