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普通物理学教程《热学》（允豪编）
习题解答
3.1.1 分析：如图所示，为圆盘与平板间液柱，盘以?转动，由于粘滞力作用于液面沿切向f、f'，则作用于圆盘，f、f'为一对作用力和反作用力。液柱边缘各点线速度?u??R?第三章 输运现象与分子动理学理论的非平衡态理论
du沿轴线向下减少，形成梯度dz。
解：（1）盘受力矩（粘滞力的矩，使盘????t?变小，某瞬间与悬丝转矩平衡）
M?I?（I盘转惯量，?角加速度）
d?d?M?I??mR2M?fR?mR2dt，且dt d?f'?mRdt …… （1） 或
dudu?u?R?0f'?????A??dz?zd，A??R2 （2）牛顿粘滞定律，dz?Rf'??????R2d即： …… （2）
（1）=（2）：
mRd??R?????R2?dtd→?0?2??Rd??R???t???dtln?md ?md0→?02t
???0e???R2mdt
3.1.2 分析：如图为题述装置的正视图。当外面以?旋转，由于被测气体的粘滞性，使筒表面受切向粘滞力f，产生力矩G，当柱体静止不动时，该力矩与悬丝形变（扭转）矩平衡。 在、外筒间，r~r?dr处取厚度为dr的圆柱体（被测气体），其柱面积为A?2?rL，则此时作用于该柱面气体的切向力
dudu?A???2?rLdtdr
duG?fr?2??Lr2?Constdr摩擦矩为 f??分离变量得：
2??L?R2?0du?G?R2R1drr2
?1R2?R11?G?R2?R1??2??L?R2??G???G???R2R1?R1?R22??RRL 2??12积分：→
3.1.3 油滴在空气中下落时，受重力与空气浮力作用：
.. ..
. . .
4f?V????'?g??R3????'?g3 …… （1）
合力f即作用于油滴（球体）切向的粘滞力（相等）
按（3.9）式 f'?6??vR …… （2）
v?vmax为收尾速度
当f'?f时，
46??vmaxR??R3???'g3（1）=（2）：
??R2??9?vmax?9?vmax?R????2????'?g→?2????'?g?
12
3.1.4 （1）由上题结论
?9?1.62?10??0.2?0.04???9?vmax??10?R????2.56?10??3?2????'?g????2?5.00?10?1.29?9.8??vRRe??0.19?1R??1时f与粘滞力无关。 ?（2）雷诺数，当e?51212????12?1.6?10?5m
故空气相对于尘埃运动是层流。层流间应存在分子（微粒）热运动而交流动量，作用于层间切向存在摩擦力（粘滞力）。
3.1.5 解：粘滞系数为?从A?B缓慢流动（可认为是匀速地），从动力学观点看，应有外力来抵消流体的粘滞力，此外来力就本问题而言是A、B液柱的压强差?P，由图依题提供的参数可得：?P??gh …… （1）
1dV??a2dh2设dt通过细管的液体体积为…… （2）
dV?r4?P?8?L 由泊肃叶（Poiseuille）定律：dt4t?grdh?gr44?La2ln2???dtln2?tt?h?04?La2→4?La2→?gr4
NOT：1、（2）式中dV为dt流过L的流体体积，dh与dV符号相反。
h2h2、题给的径r，若理解为直径，结果系数不同。
2?h?dV??a??h?2? h23、液体流经L，A降低，高差为，故（2）式
3.2.1 分析：依题意，少量N2（15）进入大量的N2（14）中，因为没对流，故可视N2（15）
为布朗粒子无规行走的扩散。“充分”混合意味着，两种分子均匀分布，达平衡态。按等几率假设，N2（15）进入后，将等几率地向空间任何方向运动，以O点为原点，某方向为x方
2????xt?0xtxxt向，经位移在方向的投影为，显然：，?t??0 kTD?26??r x爱因斯坦于1905年证明：?t??2Dt，
估算：（1）对氮D?0.200?10m?s
（2）在t，若充分混合，可认为每个布朗粒子的径迹已遍及容器所在空间。
.. ..
?42?1. . .
x2?t??r2，r为容器限度
r214t???2.5?10s?6.9h?7.0h42D2?0.2?10故
3.2.1 如上题所述，N2分子在空气中含量较低，可视为布朗运动。 空气分子移动1cm，可视N2分子x?1cm，故经历时间为
2
r21?10?21t????2.5s2D2?0.2?10?40.4
s?vt?454?2.5?1.135?103m?1.1km
2??23.3.1 如图，空心轴上任取一点r，并过此点作球壳其面积A?4?r。 按付里叶定律，通过A的热流
Q''???dT?Adz
dT?Adtdz热量为 dQ'dTQ?????A?Constdtdz热传导速率
r2drT24??dT2??dTQ???4?r??r1r2T1Qdr如图：→
?11?4?????????T?rr?Q?21? （?T?T1?T2题求）
dQ'????T?Q4???11???r?r??2? ?13.3.2 原题大意综述：两金属棒A、B（几何尺寸相同），?A?2?B，用以导热。两热源温差?T?C，求：Q?A//B?:Q?A?B?（串联）
?称为热阻率。 分析：令?T???uT（称为温压差），Q?IT，
则：对长为L、截面为A的均匀棒，达稳态传递的付里叶定律改写为： IT???uTL?A?uT?IT?RTITL?A或 ……（1）
?T?1其中
与欧姆定律及电阻定律类似，我们称（1）、（2）为热欧姆定律与热阻定律。
RT??L?TL?AA称为热阻。 ……（2）
1112SS3S??(7)(8)??RRTARTB?BL?BL?BL
解：（1）Q?A//B? T
RT??BL3S ……（3）
.. ..
. . .
?uT?u3S?RT?BL ……（4）
?L?L3?LRT(7)(8)B?B?B2SS2S ……（5） （2）Q?A?B?
?u?u?2SQ?A?B??IT(1)T?TRT3?BL ……（6）
Q?A//B??IT(1)（3） （3）、（4）、（5）、（6）使用了下列结论：
RTA?A． B．
?TLS?L2?BS??BL2S ……（7）
S ……（8）
3S?uT??BL9Q?A//B???2SQ?A?B?2?uT??BL（4）由（4）、（6）两式：
3.3.3 （A）（1）热敏电阻传递的热流（单位时间传递的热量），按付里叶定律：
RTB??TLS??BLT?T0?uT?A???Add ……（1）
（2）IT来自于焦耳热Q?uIt IT??Qu2TaIT??u?I??u2R?tRa（已知T） ……（2）
（3）联立（1）、（2），按能量守恒，源流相等。
T?T0T?T0du22T??A?u???Aa→da→TT?T0u2d1??aA
u2d1??02ud??aA?aA（B）若，，T??
R温度逐步升高，最后烧毁。
3.3.4 解：球某点离球心为r处作厚度为dr的球壳，达稳态时在单位时间从球壳传递出的热量。为球壳包围的铀球单位时间产生的热量。
QdTAdT4?r2H?????????dVdrdVdr43?r3热产生率：
12aTaaH??3??Ta?T??3??T?Ta??3??THrdr???3?dT?0T2 →
a2H0.12?5.5?103?T???0.1993K?0.20K6?6?46
.. ..
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3.3.5 （1）臂热阻（设截面积为S）
12?SL?R1?L， ?S，R23L3LR23?R?R1?R23?2?S，2?S
通过中心O点传出与传入的热流相等。
L
2T1?T0T?2T0?T1?T0?Tx x3
2?d?T?2?????2?dtCdT??3L（2）Q?CdT??ITdt，
T222??d??d6CLln22dT???ln2??tdtt??T26LC→6CL→??d2
3.3.6 （1）热机运行在500K、300K间其效率为（按理想循环）
IT??uTAB?T0?T1?2?S3LAO?T0?Tx??S??1?Q2T300?1?2?1??0.4Q1T1500（此步应于4章后讨论） QdTdT????A??0.05k?m?1tdz dt
（2）
P'?Pmax??P'???0.4????0.05??4.18?10?4?105??2?8.36?104kw
B3.4.1 （1）物体表面总辐射照度E，来自空腔的总辐射出射度M1
4E?M1B??TW ……（1）
4?E???TW物体单位时间、单位表面上吸收的辐射能量为：，
4发射的能量为：M???T ……（2） 24J???T?TTW物体净能量流密度为 ……（3）
dQ?mcpdT?CpdTCp??由 （为热容量） ……（4）
dQ42?JTA(3)??ATW?T4???ATW?T2?TW?T??TW?T??4??ATW?TW?T?dt
3CpdT(4)4??ATW?TW?T?dt????
dT?04A??TW3?T1TW?T
Cp?TW?T1???t?ln3??T?T4A??TW?W2? ……（5）
tdt?CpT2（2）依题意：把（5）式中，
Cp??c（c为比热）
.. ..
热学(秦允豪编)习题解答第三章 输运现象与分子动理学理论的非平衡态理论
