第三节 二正态总体均值差和方差比的假设检验 一：二正态总体均值差的假设检验。
在实际问题中，我们还常遇到两个总体均值的比较问题。设总体X～N(?1,?12),Y～N(?2,?)，且X与Y相互独立。x1,?,xm为来自于X的样本，样本均值为x，样本方
2差为s；y1,?,yn为来自于Y的样本，样本均值为y，样本方差为sn。下面分类进行
2m?22?讨论。
21：已知?12和?2，检验假设H0:?1??2
选取U
?(x?y)???21m??22
n作为检验统计量，且在假设H0成立的条件下知U~N（0，1）。于是对给定的?，查标准正态分布表得z1??2??，使P?U?z????
1?2??于是，得到检验的拒绝域U?z1??2，即
(x?y)???21m在由样本值算出统计量U的值，若U?z2222??22?z1??2， （9.11）
n1?1??2，则拒绝H0；若U?z?2，则接受H0。
1． 未知?1和?2，但?1＝?2，检验H0：?1??2 这时，我们选用T=
x?y22(m?1)sm?(n?1)sn???mn(m?n?2)
m?n作为检验统计量，且在H0成立下知T～t(m+n-2)。于是对给定的?，查t分布表得
t??PT?t(m?n?2)，使(m?n?2)????，于是，得到检验的拒绝域??1?1?2??2?(m?n?2)，即
2T?tx?y22(m?1)sm?(n?1)sn??1??mn(m?n?2)?t?(m?n?2)，1?m?n2由样本值算出T的值，若T?t1??2(m?n?2)，则拒绝H0；否则，接受H0。
例1 为研究正常成年男、女血液红细胞的平均数的差别，检查某地正常成年男子156名，正常成年女子74名，计算得男性红细胞平均数为465.13万/mm；样本标准差为54.80万/mm；女性红细胞平均数为422.16万/mm，样本标准为49.20万/mm。根据经验知道正常成年男性红细胞数X和女性红细胞数Y都服从正态分布，且方差相等。试检验该地正常成年人的红细胞平均数是否与性别有关（取??0.01）
3解，本例要求检验H0:?1??2，这里m=156,n=74,x?465.13万/mm,y?422.16万/mm
?33333?sm?54.80万/mm3,sn?49.20万/mm3
由
此
算
出
T=
x?y(m?1)s?(n?1)s2m2n???mn(m?n?2)m?n＝
465.13?422.16155?(54.80)2?73?(49.20)2查标准正态分布表得t1??156?74?228?5.73
230?2(m?n?2)＝t0.995(228)?z0.995?2.57，于是有
T?5.73?2.57，故拒绝假设H0，即认为正常成年男性红细胞数与女性红细胞数有显
著差别。
2． 已知?1和?2，检验H0:?1??2;H1:?1??2 对给定的?，若
22(x?y)???21m??22?z1?? (9.13)
n则拒绝H0；否则，接受H0。 若
?12??和
2?2未知，但
?12=
2?2，则当
x?y22(m?1)sm?(n?1)sn?mn(m?n?2)>t1??(m?n?2) (9.14)
m?n时，拒绝H0；否则，接受H0。 3． 检验H0:?1??2;H1:?1??2； 若?1和?2已知，则对于给定的?，当
22(x?y)???21m
??22??z1??时，拒绝H0；否则，接受H0。
n若
22未知，但?12=?2，则对于给定的?，当?12和?2x?y22(m?1)sm?(n?1)sn???mn(m?n?2)<－t1??(m?n?2) (9.16)
m?n时，拒绝H0；否则，接受H0。
例2：某厂使用两种不同的工艺生产同一类型产品。现对产品进行分析比较，抽取用第一种工艺生产的样品120件，测得平均质量为1.25(kg)，标准差为0.52(kg)；抽取用第二种工艺生产的样品60件，测得平均质量为1.32(kg)，标准差为0.45(kg)。设产品的质量都服从正态分布，且方差相等，问在水平??0.05，能否认为使用第二种工艺生产的产品的平均质量较使用第一种工艺的为大？
解：检验H0:?1??2;H1:?1??2；
这里m=120,n=60;x?1.25,y?1.32;sm?0.52,sn?0.45s 于T=
是
????x?y(m?1)s?(n?1)s1.25?1.32?2m2n?mn(m?n?2)m?n=
119?(0.52)2?59?(0.45)2120?60?78??0.889
180对给定的??0.05，查表得t1??(m?n?2)?z0.95?1.645。从而知有T=－0.889>－1.645=－t1??(m?n?2)，故接受H0，即不能认为使用第二种工艺生产的产品的平均质
量较使用第一种工艺的大。
值得提出，在实际问题中，如没有明确告诉我们方差是否相等，则必须先进行方差相等的检验，方差不等时，不能应用上述检验法，关于方差相等的检验问题将在下一部分讨论。 例3：某校从甲班随机抽取8个学生，从乙班抽7个学生，他们的物理测验成绩，甲班为78、66、64、84、70、67、82、52；乙班为76、57、62、69、65、68、71。已知甲、乙两班物理测验成绩的方差相同，问甲、乙两班的物理测验的平均成绩有无差异？并求出两总体均值差?1??2的置信区间??0.05。
解：本题已知两总体方差相等，但未知方差的值，因为没有资料表明甲、乙两班物理测验成绩的均值那个高，故采用双边检验，问题归结为检验H0:?1??2
,y?66.857,s1?10.609,s2?6.203，代入统计量 根据样本值算得x?70.375??22T0?mn(m?n?2)?m?nx?y???m?1?s21??n?1?s22
得t0?0.768
107491-概率统计随机过程课件-第九章(第三节)
