2016年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题
（4月24日上午8:30—11:00）
第一试
一、选择题（每小题6分，共48分．给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
L，10}，A是M的子集，且A中各元素的和为8，1、已知集合M={1,2,3，则满足条件的子集A共有（） A.8个B.7个C.6个D.5个
?3x?y?0??2、在平面直角坐标系中，不等式组?x?3y?2?0表示的平面区域的
?y?0??面积是（）
A.
32B.3C.2D.23 rrrrrrrrr3、设a,b,c是同一平面内的三个单位向量，且a?b，则(c?a)?(c?b)的
最大值是（）
A.1?2B.1?2C.2?1D.1
4、从1,2,L,20这20个数中，任取3个不同的数，则这3个数构成等差数列的概率为（）
A.B.
15133C.D. 1019385、A,B是抛物线y?3?x2上关于直线x?y?0对称的相异两点，则|AB|等于（）
A.3B.4C.32D.42 6、如图，在棱长为1的正四面体ABCD中，G为?BCD的重心，M是
A 线段AG的中点，则三棱锥M?BCD的外接球的表面积为（） 366A.?B.?C.?D.?
482M B G C
D
7、设函数f(x)?x3?ax2?bx?c（a,b,c均为非零整数）. 若f(a)?a3，f(b)?b3，则c的值是（）
A.?16B.?4C.4D.16
8、设非负实数a,b,c满足ab?bc?ca?a?b?c?0，则ab?bc?ca的最小值为（）
A.2B.3C.3D.22 二、填空题（每小题8分，共32分）
9、在数列{an}中，a4?1,a11?9，且任意连续三项的和都是15，则
a2016?_______________.
10、设m,n均为正整数，且满足24m?n4，则m的最小值是_______________.
11、设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且
f(x)+g(x)?2x，若对x?[1,2]，不等式af(x)+g(2x)?0恒成立，则实数a的
取值范围是___________.
12、设x?R，则函数f(x)?|2x?1|?|3x?2|?|4x?3|?|5x?4|的最小值为_________.
第二试
一、（本题满分20分）设x,y均为非零实数，且满足
xsin?55?tan9?．
??20xcos?ysin55yy（1）求的值；（2）在?ABC中，若tanC?，求sin2A?2cosB的最
xx?ycos?大值．
二、（本题满分20分）已知直线l:y?3x?4，动圆O:x2?y2?r2(1?r?2)，菱形ABCD的一个内角为600，顶点A,B在直线l上，顶点C,D在圆O上，当r变化时，求菱形ABCD的面积S的取值范围．
三、（本题满分20分）如图，圆O1与圆O2相交于P,Q两点，圆O1的弦
PA与圆O2相切，圆O2的弦PB与圆O1相切，直线PQ与?PAB的外接圆
O交于另一点R．求证：PQ?QR．
四、（本题满分30分）设函数f(x)?lnx?a(?1),a?R，且f(x)的最小值为0，
（1）求a的值；（2）已知数列{an}满足a1?1，an?1?f(an)?2(n?N?)，设Sn??a1???a2???a3??L??an?，其中[m]表示不超过m的最大整数．求
Sn．
1x五、（本题满分30分）设a,b,c为正实数，且满足abc?1，对任意整数
n?2，证明：nabc3?n?n?n． b?cc?aa?b2
陕西省数学竞赛预赛试题及其答案
