【解】浓度倒三角的妙用：
红笔按85％优惠，黑笔按80％优惠，结果少付18％，相当于按82％优惠，可按浓度问题进行配比。与其他题不同的地方在于红、黑两种笔的单价不同，要把这个因素考虑进去。然后就可以按比例分配这66支笔了。
【例12】制鞋厂生产的皮鞋按质量共分10个档次，生产最低档次（即第1档次）的皮鞋每双利润为24元。每提高一个档次，每双皮鞋利润增加6元。最低档次的皮鞋每天可生产180双，提高一个档次每天将少生产9双皮鞋。按天计算，生产哪个档次的皮鞋所获利润最大？最大利润是多少元？
【解】第9档次；7776元。
由题意，生产第n（n=1，2，…，10）档次的皮鞋，每天生产的双数为189－9n=9×（21－n）双，每双利润为18＋6n=6×（3＋n）（元），所以每天获利润［6×（3＋n）］×［9× ［（21－n）］=54×（3＋n）×（21－n）元。
两个数的和一定时，这两个数越接近，这两个数的乘积越大。上式中，因为（3+n）与（21－n）的和是24，而n=9时，（3＋n）与（21－n）都等于12，所以每天生产第9档次的皮鞋所获利润最大，最大利润是54×（3＋9）×（21－9）＝7776（元）。
小结
本讲主要接触到以下几种典型题型：
1）分数百分数应用题 参见例1，2，3，4 2）比和比例 参见例5，6，7，8 3）经济浓度问题 参见例9，10，11，12
【课外知识】
勾股定理
勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方。
这个定理在中国又称为\商高定理\，在外国称为\毕达哥拉斯定理\。为什么一个定理有这么多名称呢？商高是公元前十一世纪的中国人。当时中国的朝代是西周，是奴隶社会时期。在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话。商高说：\\什么是\勾、股\呢？在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为\勾\，下半部分称为\股\。商高那段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径隅（就是弦）则为5。以后人们就简单地把这个事实说成\勾三股四弦五\。由于勾股定理的内容最早见于商高的话中，所以人们就把这个定理叫作\商高定理\。
毕达哥拉斯（Pythagoras）是古希腊数学家，他是公元前五世纪的人，比商高晚出生五百多年。希腊另一位数学家欧几里德（Euclid，是公元前三百年左右的人）在编著《几何原本》时，认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，所以他就把这个定理称为\毕达哥拉斯定理\，以后就流传开了。 关于勾股定理的发现，《周髀算经》上说：\故禹之所以治天下者，此数之所由生也。\此数\指的是\勾三股四弦五\，这句话的意思就是说：勾三股四弦五这种关系是在大禹治水时发现的。
勾股定理的应用非常广泛。我国战国时期另一部古籍《路史后记十二注》中就有这样的记载：\禹治洪水决流江河，望山川之形，定高下之势，除滔天之灾，使注东海，无漫溺之患，此勾股之所系生也。\这段话的意思是说：大禹为了治理洪水，使不决流江河，根据地势高低，决定水流走向，因势利导，使洪水注入海中，不再有大水漫溺的灾害，是应用勾股定理的结果。
作业题
（注：作业题--例题类型对照表，供参考）
题1—类型1；题2，4，5，6，8—类型4；题3，7—类型5 1、（★★★）某中学，上年度高中男、女生共290人.这一年度高中男生增加4％，女生增加5％，共增加13人.本年度该校有男、女生各多少人？
【解】男生156人，女生147人。
如果女生也是增加 4％，这样增加的人数是290×4％＝11.6（人）.比 13人少 1.4人.因此上年度是 1.4÷（5％- 4％）＝140（人）.本年度女生有
140×（1＋5％）＝ 147（人）.
2、（★★★）在下图中AB，AC的长度是15，BC的长度是9.把BC折过去与AC重合，B点落在E点上，求三角形ADE与三角形ABC面积之比.
【解】1∶4. 三角形ADE与三角形EDC面积之比是 （15-9）∶9. 3、（★★★）成本 0.25元的练习本 1200本，按 40％的利润定价出售。当销掉80％后，剩下的练习本打折扣出售，结果获得的利润是预定的 86％，问剩下的练习本出售时是按定价打了什么折扣？ 【解】打了8折.
先销掉 80％，可以获得利润0.25×40％×1200×80％＝ 96.按86％获得利润 0.25×40％×1200×86％=103.2.因此，出售剩下的20％，要获得利润
103.2-96=7.2（元），
每本需要获得利润
7.2÷（1200× 20％）= 0.03（元）。
现在售价是 0.25＋ 0.03＝ 0.28（元），定价是
0.25×（1＋ 40％）＝ 0.35（元）。
售价是定价的0.28÷ 0.35=80％。
1
4、（★★★）甲乙两人各有一些书，甲比乙多的数量恰好是两人总数的 ，如果甲给乙20
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本，那么乙比甲多的数量恰好是两人总数的 。那么他们共有多少本书？
6
1
【解】甲比乙多的数量恰好是两人总数的 ，把差1份，和4份，用和差问题来算一下，
4大数为:(4+1)/2=2.5,小数:(4-1)/2=1.5, ,得甲是2.5份,乙是1.5份,甲与乙的比是5:3. 同理,甲给乙20本后,甲与乙的比是5：7，思考一下为什么是5：7，不要把前后项颠倒了。因为甲给乙20本书，甲减少多少，乙就增加多少，甲乙两人共有书的总数不变，我们就把和的份数统一一下，在这里8与12的最小公倍数是24份：
5：3=15：9 5：7=10：14
观察比较甲从15份变为10份，是因为少了20本书，因此每份是4本，共有书就为4×（15+9）=96本。 5、（★★★）甲、乙、丙三位同学共有图书108本.乙比甲多18本，乙与丙的图书数之比是5∶4.求甲、乙、丙三人所有的图书数之比. 【解】3∶5∶4.
（108+18）÷（5 + 5+ 4）= 9
甲、乙、丙三人图书数之比是
（9×5-18）∶（9×5）∶（9×4）=3∶5∶4。
6、（★★★）一个容器内已注满水，有大、中、小三个球。第一次把小球沉入水中；第二次把小球取出，把中球沉入水中；第三次取出中球，把小球和大球一起
，第三次是第一次的2.5倍，求三个球的体
积之比。
【解】三种球体积之比是2∶8∶11.
设小球体积是1.当容器水满时，放一个球，就要溢出同样体积的水，因此可以用小球体积来计算溢出的水量.
小球时，容器中已经空出体积1，因此中球的体积是3+1=4.
未取出中球时，水是满的，取出中球后，容器空出体积4.再沉入小球和大球溢出水量是2.5，小球和大球的沉入，水又是满了，因此小球和大球的体积是4+2.5=6.5，而大球的体积是6.5-1=5.5.
三个球的体积之比是 1∶ 4∶ 5.5= 2∶ 8∶ 11. 7、（★★）某种密瓜每天减价20％.第一天妈妈按定价减价20％买了3个密瓜，第二天妈妈
又买了5个密瓜，两天共花了42元.如这8个密瓜都在第三天买，问要花多少钱？ 【解】第三天买，只要30.72元. 每个密瓜原来定价是
42÷[（1-0.2）×3+（1-0.2）×（1-0.2）×5）]=7.5（元）.
第三天买每个价格是
7.5×0.8× 0.8 ×0.8= 3.84（元）. 3.84×8=30.72（元）.
8. （★★★★） 袋子里红球与白球数量之比是19：13。放入若干只红球后，红球与白球数量之比变为5：3；再放入若干只白球后，红球与白球数量之比变为13：11。已知放入的红球比白球少80只，那么原先袋子里共有多少只球？
【解】放入若干只红球前后比较，那白球的数量不变，也就是后项不变；再把放入若干只白球的前后比较，红球的数量不变，因此可以根据两次变化前后的不变量来统一，然后比较。
红 白
原来 19 ：13=57：39 加红 5 ： 3=65：39 加白 13 ：11=65：55
原来与加红球后的后项统一为3与13的最小公倍数为39，再把加红与加白的前项统一为65与13的最小公倍数65。观察比较得出加红球从57份变为65份，共多了8份，加白球从39份变为55份，共多了16份，可见红球比白球少加了8份，也就是少加了80只，每份为10只，总数为（57+39）×10=960只。
小升初数学专项训练比例百分数篇（教师版）（附答案）
