电磁感应中单、双棒问题归类例析 - 图文

由天下分享时间：2024/11/16 10:27:44 加入收藏我要投稿点赞

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电磁感应中“单、双棒”问题归类例析

一、单棒问题：

1.单棒与电阻连接构成回路：

例1、如图所示，MN、PQ是间距为L的平行金属导轨，置于磁感强度为B、方向垂直导轨所在平面向里的匀强磁场中，M、P间接有一阻值为R的电阻．一根与导轨接触良好、阻值为R／2的金属导线ab垂直导轨放置

（1）若在外力作用下以速度v向右匀速滑动，试求ab两点间的电势差。

（2）若无外力作用，以初速度v向右滑动，试求运动过程中产生的热量、通过ab电量以及ab发生的位移x。

2、杆与电容器连接组成回路

例2、如图所示,竖直放置的光滑平行金属导轨, 相距l , 导轨一端接有一个电容器, 电容量为C, 匀强磁场垂直纸面向里, 磁感应强度为B, 质量为m的金属棒ab可紧贴导轨自由滑动.现让ab由静止下滑, 不考虑空气阻力, 也不考虑任何部分的电阻和自感作用. 问金属棒的做什么运动？棒落地时的速度为多大？

3、杆与电源连接组成回路

例3、如图所示，长平行导轨PQ、MN光滑，相距l?0.5m，处在同一水平面中，磁感应强度B=0.8T的匀强磁场竖直向下穿过导轨面．横跨在导轨上的直导线ab的质量m =0.1kg、电阻R =0.8Ω，导轨电阻不计．导轨间通过开关S将电动势E =1.5V、电阻r =0.2Ω的电池接在M、P两端，试计算分析：

（1）在开关S刚闭合的初始时刻，导线ab的加速度多大？随后ab的加速度、速度如何变化？

（2）在闭合开关S后，怎样才能使ab以恒定的速度υ =7.5m/s沿导轨向右运动？试描述这时电路中的能量转化情况（通过具体的数据计算说明）．

二、双杆问题：

b B d 1、双杆所在轨道宽度相同——常用动量守恒求稳定速度

L 例4、两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面，两导轨间的距离v0 a

c为L。导轨上面横放着两根导体棒ab和cd，构成矩形回路，如图所示．两根导

体棒的质量皆为m，电阻皆为R，回路中其余部分的电阻可不计．在整个导轨平面都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B．设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行．开始时，棒cd静止，棒ab有指向棒cd的初

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速度v0．若两导体棒在运动中始终不接触，求：

（1）在运动中产生的焦耳热最多是多少．

（2）当ab棒的速度变为初速度的3/4时，cd棒的加速度是多少？

例5、如图所示，两根平行的金属导轨，固定在同一水平面上，磁感应强度B=0.50T的匀强磁场与导轨所在平面垂直，导轨的电阻很小，可忽略不计。导轨间的距离l=0.20m。两根质量均为m=0.10kg的平行金属杆甲、乙可在导轨上无摩擦地滑动，滑动过程中与导轨保持垂直，每根金属杆的电阻为R=0.50Ω。在

t=0时刻，两杆都处于静止状态。现有一与导轨平行、大小为0.20N的恒力F作用于金属杆甲上，使金属杆

在导轨上滑动。经过t=5.0s，金属杆甲的加速度为a=1.37m/s，问此时两金属杆的速度各为多少？

2、双杆所在轨道宽度不同——常用动量定理找速度关系

乙甲 F 例6、如图所示，abcd和abcd为水平放置的光滑平行导轨，区域充满方向竖直向上的匀强磁场。ab、

////

a/b/间的宽度是cd、c/d/间宽度的2倍。设导轨足够长，导体棒ef的质量是棒gh的质量的2倍。现给导体棒ef一个初速度v0，沿导轨向左运动，当两棒的速度稳定时，两棒的速度分别

是多少？

3、磁场方向与导轨平面不垂直

例7、如图所示，ab和cd是固定在同一水平面的足够长平行金属导轨，

B ae和cf是平行的足够长倾斜导轨，整个装置放在竖直向上的匀强磁场中。在

水平导轨上有与导轨垂直的导体棒1，在倾斜导轨上有与导轨垂直且水平的导

体棒2，两棒与导轨间接触良好，构成一个闭合回路。已知磁场的磁感应强度e θ 为B，导轨间距为L，倾斜导轨与水平面夹角为θ，导体棒1和2质量均为m，

a 2 c 1 F d b a/

a e b c b/ c/ h g d d/ f f θ 电阻均为R。不计导轨电阻和一切摩擦。现用一水平恒力F作用在棒1上，从静止开始拉动棒1，同时由静止开始释放棒2，经过一段时间，两棒最终匀速运动。忽略感应电流之间的作用，试求：（1）水平拉力F的大小；

（2）棒1最终匀速运动的速度v1的大小。

三、轨道滑动模型

例8、如图所示，abcd为质量m的U形导轨，ab与cd平行，放在光滑绝缘的水平面上，另有一根质量为m的金属棒PQ平行bc放在水

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平导轨上，PQ棒右边靠着绝缘竖直光滑且固定在绝缘水平面上的立柱e、f,U形导轨处于匀强磁场中，磁场以通过e、f的O1O2为界，右侧磁场方向竖直向上，左侧磁场方向水平向左，磁感应强度大小都为B，导轨的bc段长度为L,金属棒PQ的电阻R，其余电阻均可不计，金属棒PQ与导轨间的动摩擦因数为μ，在导轨上作用一个方向向右，大小F==mg的水平拉力，让U形导轨从静止开始运动．设导轨足够长．求： (1)导轨在运动过程中的最大速度υm

(2)若导轨从开始运动到达到最大速度υm的过程中，流过PQ棒的总电量为q，则系统增加的能为多少?

练习：

1、如右图所示，一平面框架与水平面成37°角，宽L=0.4 m，上、下两端各有一个电阻R0＝1 Ω，框架的其他部分电阻不计，框架足够长.垂直于框平面的方向存在向上的匀强磁场，磁感应强度B＝2T.ab为金属杆，其长度为L＝0.4 m，质量m＝0.8 kg，电阻r＝0.5Ω，棒与框架的动摩擦因数μ＝0.5.由静止开始下滑，直到速度达到最大的过程中，上端电阻R0产生的热量Q0＝0.375J(已知sin37°＝0.6，cos37°=0.8；g取10m／s2)求： (1)杆ab的最大速度；

(2)从开始到速度最大的过程中ab杆沿斜面下滑的距离；在该过程过ab的电荷量.

a 2、光滑U型金属框架宽为L，足够长，其上放一质量为m的金属棒ab，左端连接有一电容为C的电容器，现给棒一个初速v0，使棒始终垂直框架并沿框架

运动，如图所示。求导体棒的最终速度。

3、如图所示,两根间距为l的光滑金属导轨(不计电阻),由一段圆弧部分与一段无

限长的水平段部分组成.其水平段加有竖直向下方向的匀强磁场,其磁感应强度为B,导轨水平段上静止放置一金属棒cd,质量为2m,电阻为2r.另一质量为m,电阻为r的金属棒ab,从圆弧段M处由静止释放下滑至N处进入水平段,圆弧段MN半径为R,所对圆心角为60°,求：（1）ab棒在N处进入磁场区速度多大？此时棒中电流是多少？（2） cd棒能达到的最大速度是多大？（3）ab棒由静止到达最大速度过程中, 系统所能释放的热量是多少？

4、如图所示，两根平行的金属导轨，固定在同一水平面上，磁感应强度B=0.50T的匀强磁场与导轨所在平面垂直，导轨的电阻很小，可忽略不计。导轨间的距离l=0.20m。两根质量均为m=0.10kg的平行金属杆甲、乙可在导轨上无摩擦地滑动，滑动过程中与导轨保持垂直，每根金属杆的电阻为

乙甲 C v0 b R=0.50Ω。在t=0时刻，两杆都处于静止状态。现有一与导轨平行、大小为0.20N

的恒力F作用于金属杆甲上，使金属杆在导轨上滑动。经过t=5.0s，金属杆甲的加速度为a=1.37m/s，问此时两金属杆的速度各为多少？

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高考对电磁感应与能量综合的考查重点分析

【知识方法解读】导体切割磁感线或磁通量变化过程，在回路中产生感应电流，机械能转化为电能。电流通过导体受到安培力作用或通过电阻发热、电能转化为机械能或能。因此电磁感应过程总是伴随着能量的转化。利用能量守恒定律解答电磁感应中能量问题，快捷方便。

例1（2011XX理综物理）如图所示，两根足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ间距为l=0.5m，其电阻不计，两导轨及其构成的平面均与水平面成30°角。完全相同的两金属棒ab、cd分别垂直导轨放置，每棒两端都与导轨始终有良好接触，已知两棒质量均为m=0.02kg，电阻均为R=0.01Ω，整个装置处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度B=0.2T，棒ab在平行于导轨向上的力F作用下，沿导轨向上匀速运动，而棒cd恰好能够保持静止。取g=10m/s，问：（1）通过棒cd的电流I是多大，方向如何？（2）棒ab受到的力F多大？

（3）棒cd每产生Q=0.1J的热量，力F做的功W是多少？【点评】此题考查平衡条件、焦耳定律、闭合电路欧姆定量等相关知识点。

例2（2011物理）电阻可忽略的光滑平行金属导轨长S=1.15m，两导轨间距L=0.75 m，导轨倾角为30°，导轨上端ab接一阻值R=1.5Ω的电阻，磁感应强度B=0.8T的匀强磁场垂直轨道平面向上。阻值r=0.5Ω，质量m=0.2kg的金属棒与轨道垂直且接触良好，从轨道上端ab处由静止开始下滑至底端，在此过程中金属棒产生的焦耳热Qr=0.1J。(取g=10m/s)求：

律、功、热

(1)金属棒在此过程中克服安培力的功W安； (2)金属棒下滑速度v=2m/s时的加速度a．

(3)为求金属棒下滑的最大速度vm，有同学解答如下：由动能定理W重-W安=1mvm2，……。由此所得结果是否2正确？若正确，说明理由并完成本小题；若不正确，给出正确的解答。

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电磁感应中“单棒、双棒”问题归类例析答案

一、单棒问题：

1.单棒与电阻连接构成回路：例1.解析：（1）ab运动切割磁感线产生感应电动势E，所以ab相当于电源，与外电阻R构成回路。 ∴UR2ab=

R?RBLV?23BLV

（2）若无外力作用则ab在安培力作用下做减速运动，最终静止。动能全部转化为电热。

Q?12mv2。由动量定理得：Ft?mv即BILt?mv，q?It∴q?mvBL。q?It???BLxmv3?3?，2RBL2R∴x?3mvR2B2L2。 2、杆与电容器连接组成回路

例2 .解析：ab在mg 作用下加速运动，经时间 t ，速度增为v，a =v / t 产生感应电动势 E=Bl v

电容器带电量 Q=CE=CBl v，感应电流I=Q/t=CBL v/ t=CBl a 产生安培力F=BIl =CB2 l2a，由牛顿运动定律 mg-F=ma

ma= mg - CB2 l2a ，a= mg / (m+C B2 l2

)

∴ab做初速为零的匀加直线运动, 加速度 a= mg / (m+C B2 l2

) 落地速度为 v?2ah?2mgh、杆与电源连接组成回路

m?CB2l23例3．解析（1）在S刚闭合的瞬间，导线ab速度为零，没有电磁感应现象，由a到b的电流

IE0?R?r?1.5A，ab受安培力水平向右，此时瞬时加速度aF0BI0L0?m?m?6m/s2 ab运动起来且将发生电磁感应现象．ab向右运动的速度为υ时，感应电动势

E'?Blv，根据右手定则，ab上的感应电动势（a端电势比b端高）在闭合电路中与电池电动势相反．电E?E'路中的电流（顺时针方向，I?R?r）将减小（小于I0=1.5A），ab所受的向右的安培力随之减小，加速

度也减小．尽管加速度减小，速度还是在增大，感应电动势E随速度的增大而增大，电路中电流进一步减小，安培力、加速度也随之进一步减小，当感应电动势E'与电池电动势E相等时，电路中电流为零，ab . 可修编-

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所受安培力、加速度也为零，这时ab的速度达到最大值，随后则以最大速度继续向右做匀速运动．

设最终达到的最大速度为υm，根据上述分析可知：E?Bl?m?0

E1.5m/s=3.75m/s． ?Bl0.8?0.5（2）如果ab以恒定速度??7.5m/s向右沿导轨运动，则ab中感应电动势

所以?m?E'?Blv?0.8?0.5?7.5V=3V

E'?E3?1.5?由于E＞E，这时闭合电路中电流方向为逆时针方向，大小为：I?A=1.5A

R?r0.8?0.2''直导线ab中的电流由b到a，根据左手定则，磁场对ab有水平向左的安培力作用，大小为

F'?BlI'?0.8?0.5?1.5N=0.6N

所以要使ab以恒定速度v?7.5m/s向右运动，必须有水平向右的恒力F?0.6N作用于ab．上述物理过程的能量转化情况，可以概括为下列三点： ①作用于ab的恒力（F）的功率：P?Fv?0.6?7.5W=4.5W

②电阻（R +r）产生焦耳热的功率：P?I(R?r)?1.5?(0.8?0.2)W=2.25W

'22③逆时针方向的电流I'，从电池的正极流入，负极流出，电池处于“充电”状态，吸收能量，以化学能的形式储存起来．电池吸收能量的功率：P?IE?1.5?1.5W=2.25W

由上看出，P?P?P，符合能量转化和守恒定律（沿水平面匀速运动机械能不变）．二、双杆问题：

1、双杆所在轨道宽度相同——常用动量守恒求稳定速度

例4．解析：ab棒向cd棒运动时，两棒和导轨构成的回路面积变小，磁通量发生变化，于是产生感应电流．ab棒受到与运动方向相反的安培力作用作减速运动，cd棒则在安培力作用下作加速运动．在ab棒的速度大于cd棒的速度时，回路总有感应电流，ab棒继续减速，cd棒继续加速．两棒速度达到相同后，回路面积保持不变，磁通量不变化，不产生感应电流，两棒以相同的速度v作匀速运动．

（1）从初始至两棒达到速度相同的过程中，两棒总动量守恒，有mv0?2mv根据能量守恒，整个过程中产生的总热量Q?L a

b v0 c B d '''''12112 mv0?(2m)v2?mv0224（2）设ab棒的速度变为初速度的3/4时，cd棒的速度为v1，则由动量守恒可知：

33E。此时mv0?mv0?mv1。此时回路中的感应电动势和感应电流分别为：E?(v0?v1)BL，I?442R . 可修编-

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B2L2v0F。 cd棒所受的安培力：F?IBL，所以cd棒的加速度为a?由以上各式，可得a?4mRm例5．解析：设任一时刻t两金属杆甲、乙之间的距离为x，速度分别为v1和v2，经过很短的时间△t，杆甲移动距离v1△t，杆乙移动距离v2△t，回路面积改变

乙甲 ?S?[(x?v2?t)?v1?t]?t?lx?(v1?v2)l?t

由法拉第电磁感应定律，回路中的感应电动势E?B回路中的电流i?F ?S ?tE，杆甲的运动方程F?Bli?ma 2R由于作用于杆甲和杆乙的安培力总是大小相等，方向相反，所以两杆的动量(t?0时为0）等于外力F的

冲

量

Ft?mv1?mv2。联立以上各式解得

1F2Rv1?[1?2(F?ma)]2mBFv1?8.15m/sv2?1.85m/s

1F2Rv2?[1?22(F?ma)]2mBI，代入数据得

2、双杆所在轨道宽度不同——常用动量定理找速度关系

例6．解析：当两棒的速度稳定时，回路中的感应电流为零，设导体棒ef的速度减小到v1，导体棒gh的速度增大到v2，则有2BLv1-BLv2=0，即v2=2v1。对导体棒ef由动量定理得：

??2BLI?t?2mv1?2mv0 对导体棒gh由动量定理得：

a a/

e b c b/ c/ h g d d/ 12BLI?t?mv2?0。由以上各式可得：v1?v0,v2?v0。

33?f 3、磁场方向与导轨平面不垂直

例7．解析（1）1棒匀速：F?BIL2棒匀速：BIL?mgtan? 解得：F?mgtan?

（2）两棒同时达匀速状态，设经历时间为t，过程中平均感应电流为I，据动

量定理，

对1棒：Ft?BILt?mv1?0；对2棒：mgsin??t?BILcos??t?mv2?0 联立解得：v2?v1cos?

匀速运动后，有：E?BLv1?BLv2cos?，I?B e θ a 2 c 1 f θ F d b E 解得：v1?2mgRtan? 2RB2L2(1?cos2?) . 可修编-

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三、轨道滑模型

例8.解析：(1)当导轨的加速度为零时，导轨速度最大为υm。导轨在水平方向上受到外力F、水平向左的安培力F1和滑动摩擦力F2，则

B2L2vmEF?F1?F2?0，F1?BIL,I?,E?BLvm，即F1?

RR以PQ棒为研究对象，PQ静止，在竖直方向上受重力mg、竖直向上的

B2L2vm)，将F1和F2代入解支持力N和安培力F3，则N?F3?mg,F3?F1,F2??N，得F2??(mg?R得

B2L2vmmgR0?(1??)(g?)，得vm?22

mRBL(2)设导轨从开始运动到达到最大速度的过程中，移动的距离为S，在这段过程中，经过的时间为t,PQ棒中

的平均电流强度为I1，QPbC回路中的平均感应电动势为E1，则

E1?E??qR,???SLB,I1?1,q?I1t，得S?。设系统增加的能为?E，由功能关系得：tRBLmgqRm3g2R212? FS?mvm??E，则?E?44BL2BL2练习：

1.解析：该题是一道考察电磁感应、安培力、闭合电路欧姆定律及力学有关知识的综合题，解题的关键是要正确分析金属杆的运动及受力的变化情况。（1）杆ab达到平衡时的速度即为最大速度v，这时 mgsinθ—F—?N=0，N=mgcosθ ∴F=mg（sinθ—μcosθ）总电阻R?R0E?r?1?，E?Blv，I?，F?BIL 2RB2L2vmg(sin???cos?)RF?，得v??2.5m 22sRBL

克服磁场力所做的功数值上等于产生的总电能即

W?Q?2Q0?2Q0?1.5J，由动能定理：smgsin??W??mgcos??12mv?0 212mv?W2s? mg(sin???cos?) . 可修编-

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通过ab的电荷量 q?I?t?BLs，代入数据得q＝2 C R2.解析：当金属棒ab做切割磁力线运动时，要产生感应电动势，这样，电容器C将被充电，ab棒中有充电电流存在，ab棒受到安培力的作用而减速，当ab棒以稳定速度v匀速运动时，有： BLv=UC=q/C

而对导体棒ab利用动量定理可得：-BLq=mv-mv0 由上述二式可求得：v?mv0 22m?BLC3、解析：(1)ab棒由静止从M滑下到N的过程中,只有重力做功,机械能守恒,所以到N处速度可求,进而可求ab棒切割磁感线时产生的感应电动势和回路中的感应电流.ab棒由M下滑到N过程中,机械能守恒,故有

mgR(1?cos60?)?BlgR12E?mv，解得v?gR。进入磁场区瞬间,回路中电流强度I为 I?2r?r3r2(2)设ab棒与cd棒所受安培力的大小为F,安培力作用时间为 t,ab 棒在安培力作用下做减速运动,cd棒在安培力作用下做加速运动,当两棒速度达到相同速度v’时,电路中电流为零,安培力为零,cd达到最大速度.

运用动量守恒定律得： mv?(2m?m)v?解得 v??121Q?mv??3mv?2(3)系统释放热量应等于系统机械能减少量,故有：

221解得

Q?mgR3

4、解析：设任一时刻t两金属杆甲、乙之间的距离为x，速度分别为v1和v2，经过很短的时间△t，杆甲移动距离v1△t，杆乙移动距离v2△t，回路面积改变

乙甲 1gR3?S?[(x?v2?t)?v1?t]?t?lx?(v1?v2)l?t

冲

量

Ft?mv1?mv2。联立以上各式解得

1F2Rv1?[1?2(F?ma)]2mBFv1?8.15m/sv2?1.85m/s

1F2Rv2?[1?22(F?ma)]2mBI，代入数据得

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高考对电磁感应与能量综合的考查重点分析

例1（2011XX理综物理）如图所示，两根足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ间距为l=0.5m，其电阻不计，两导轨及其构成的平面均与水平

面成30°角。完全相同的两金属棒ab、cd分别垂直导轨放置，每棒两端都与导轨始终有良好接触，已知两棒质量均为m=0.02kg，电阻均为R=0.01Ω，整个装置处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度B=0.2T，棒ab在平行于导轨向上的力F作用下，沿导轨向上匀速运动，而棒cd恰好能够保持静止。取g=10m/s，问：

（1）通过棒cd的电流I是多大，方向如何？（2）棒ab受到的力F多大？

（3）棒cd每产生Q=0.1J的热量，力F做的功W是多少？【解析】（1）棒cd受到的安培力Fcd=IlB，

由运动学公式知在时间t，棒ab沿导轨的位移x=vt，力F做的功W=Fx，

综合上述各式，代入数据解得W=0.4J。

【点评】此题考查平衡条件、焦耳定律、闭合电路欧姆定律、功、热量等相关知识点。

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(1)金属棒在此过程中克服安培力的功W安； (2)金属棒下滑速度v=2m/s时的加速度a．

(3)为求金属棒下滑的最大速度vm，有同学解答如下：由动能定理W重-W安=1mvm2，……。由此所得结果2是否正确？若正确，说明理由并完成本小题；若不正确，给出正确的解答。

金属棒下滑时

舞重力和安培力作用，其运动满足

B2L2mgsin30??v?ma