内部文件，版权追溯 专题7.4 基本不等式及其应用
【考纲解读】
要 求 内 容 A B C 一元二次不等式 √ 对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在表中分别用A、B、C表示）. 集线性规划 合 √ 了解：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问 题. 理解：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题. 掌握：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为基本不等式 √困难的问题. 【直击考点】
题组一 常识题
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1．函数y＝x＋(x＞0)的最小值为________．
备注 x444
【解析】∵x＞0，∴y＝x＋≥4，当且仅当x＝，即x＝2时取等号，故函数y＝x＋(x＞0)的最小
xxx值为4.
2．一段长为40 m的篱笆围成一个矩形菜园，则菜园的最大面积是________．
【解析】设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则2(x＋y)＝40，即x＋y＝20，∴ 矩形的面积S＝xy≤?2
＝100，当且仅当x＝y＝10时，等号成立，此时菜园的面积最大，最大的面积是100 m.
3．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m、形状为直角三角形的框架，选用最合理(够用且浪费最少)的铁丝的长为________m.
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【解析】设两直角边长分别为a m，b m，直角三角形的框架的周长为l，则ab＝2，即ab＝4，∴ l2＝a＋b＋a＋b≥2ab＋2ab＝4＋22，当且仅当a＝b＝2时取等号，故选用最合理(够用且浪费最少)的铁丝的长为(4＋22)m.
4．建造一个容积为8 m，深为2 m的长方体无盖水池，若池底的造价为每平方米120元，池壁的造
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3
2
2
2
2
?x＋y?
??2?
价为每平方米80元，则这个水池的最低造价为______元．
8?4?【解析】设水池的总造价为y元，池底长为x m，则宽为 m，由题意可得y＝4×120＋2?2x＋?×80
x?x?
?4?＝480＋320?x＋?≥480＋320×2?
x?
x·＝480＋320×24＝1760，当且仅当x＝，即x＝2时，ymin＝1760.
xx44
故当池底长为2 m时，这个水池的造价最低，最低造价为1760元． 题组二 常错题
4
的最小值为________． x＋1
444
【解析】x＋＝x＋1＋－1≥4－1＝3，当且仅当x＋1＝，即x＝1时等号成立．
x＋1x＋1x＋15．若x＞－1，则x＋
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6．已知0 lg x【解析】∵0 ∴－y＝－lg x＋≥2 －lg x4 （－lg x）×＝4， －lg x41 当且仅当－lg x＝，即x＝时，等号成立， －lg x100∴ymax＝－4. 4?π?，x∈?0，?的最小值为 _________________________. 2?sin x? 4 【解析】当sin x＝时，sin x＝±2，显然等号取不到，事实上，设t＝sin x，则t∈(0，1]， sin x7. 函数y＝sin x＋ y＝t＋在(0，1]上为减函数，故当t＝1时，y取最小值5. t题组三 常考题 ??ax＋y＝1， 8． 设a＞0，b＞0.若关于x，y的方程组?无解，则a＋b的取值范围是__________． ?x＋by＝1? 4 【解析】将方程组中的第一个方程化为y＝1－ax，代入第二个方程整理得(1－ab)x＝1－b，由方程组无解得1－ab＝0且1－b≠0，所以ab＝1且b≠1.由基本不等式得a＋b>2ab＝2，故a＋b的取值范围是(2，＋∞)． 9．若直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1，1)，则a＋b的最小值等于________． 1111ab【解析】依题意有＋＝1，所以a＋b＝(a＋b)·＋＝1＋＋＋1≥2＋2 xyabababbaab·＝4，当且仅当baa＝b＝2时等号成立．10．已知a>0，b>0，ab＝8，则当a的值为________时，log2a·log2(2b)取得最大 值 ． 2 【知识清单】 考点1利用基本不等式证明不等式 22如果a,b?R，那么a?b?2ab（当且仅当a?b时取等号“=”） 如果a?0，b?0,则a?b?2ab，（当且仅当a?b时取等号“=”）. 考点2 利用基本不等式求最值 常见结论： 221、 如果a,b?R，那么a?b?2ab（当且仅当a?b时取等号“=”） a2?b2推论：ab?（a,b?R） 22、 如果a?0，b?0,则a?b?2ab，（当且仅当a?b时取等号“=”）. a?b2a2?b2a?b2)（a?0，b?0）?() 推论：ab?(；222a?ba2?b2?ab??(a?0,b?0) 3、 1122?ab2考点3 基本不等式的实际应用 利用基本不等式求解实际应用题的方法 (1)问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、销售、税收、原材料”等，题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解． (2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解． 【考点深度剖析】 江苏新高考对不等式知识的考查要求较高，整个高中共有8个C能级知识点，本章就占了两个，高考中以填空题和解答题的形式进行考查，涉及到数形结合、分类讨论和等价转化的思想，着重考查学生基本概念及基本运算能力.经常与其它章节知识结合考查，如与函数、方程、数列、平面解析几何知识结 3 合考查. 基本不等式及其应用在高考中是一个必考的知识点，在处理最值时是一种非常行之有效的工具，在使用时一定多观察所给代数式的形式，和基本不等式成立的条件. 【重点难点突破】 考点1利用基本不等式证明不等式 【1-1】不已知a、b、c都是正数，求证：(a?b)(b?c)(c?a)?8abc 【答案】∵a＞0，b＞0，c＞0， bcacabc2∴a?b?2ab?2c， acaba2bcb?c?2bc?2a， bcabab2a?cc?2ac?2b. ∴ bca?cab?abc?a?b?c. 【1-2】已知a＞0，b＞0，c＞0，求证： bca?cab?abc?a?b?c. 【1-3】已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：??1?1??1?a????1??b???9. 【解析】∵a?0，b?0，a＋b＝1， ∴1+1a?bb1a?1??b??a?a=1+a=2+a.同理，1+b=2+b.∴??1?a????1?1?b??????2?a????2?b?? ＝5+2?b??a?a?b???5+4=9，当且仅当ba1a?b，即a=b=2时取“＝”． 4 ∴?1???11??1?a=b=，当且仅当时等号成立． 1??9???2a??b?【思想方法】 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等． 【温馨提醒】 1. 在运用 a?b?ab时，注意条件a、b均为正数，结合不等式的性质，进行变形. 22. 三个式子必须都为非负且能同时取得等号时，三个式子才能相乘，最后答案才能取得等号. 3. 在利用基本不等式证明的过程中，常常要把数、式合理的拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式． 考点2 利用基本不等式求最值 【2-1】若log2x＋1og2y＝1，则x＋2y的最小值是________． 【答案】4 【解析】因为log2x＋log2y＝1，即log2xy＝1，所以xy＝2且x＞0，y＞0，于是x＋2y≥2x·2y＝4，当且仅当x＝2y，即x＝2，y＝1时取等号，所以x＋2y的最小值为4. 【2-2】设0?x?1，函数y?【答案】 9 41的最小值为 ． ?x1?x 【2-3】已知x?0,y?0,lg2?lg8?lg2，则【答案】4 xyxy【解析】由lg2?lg8?lg2，得lg2?8?lg2，即2xy11?的最小值是 ． x3y??x?3y?2，亦即x?3y?1,且x?0,y?0，从 而 3yx11?11?3yx3yx?当且仅当，又x?3y?1，???????x?3y??2???2?2??4， x3yx3y?x3y?x3yx3y 5
(江苏版)2018年高考数学一轮复习专题7.4基本不等式及其应用(讲)
