高中数学必修 4 之平面向量
知识点归纳
一 .向量的基本概念与基本运算 1 、向量的概念：
①向量：既有大小又有方向的量 ②零向量：长度为
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．
0 的向量，记为
0 ，其方向是任意的， 0 与任意向量平行
③单位向量：模为
1 个单位长度的向量
④平行向量（共线向量） ：方向相同或相反的非零向量 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量 2 、向量加法：设
AB a, BC b
，则
a +b = AB BC = AC
（ 1） 0 a a 0 a ；（ 2）向量加法满足交换律与结合律； CD
PQ QR AR ，但这时必须“首尾相连” ．
① 相反向量：与 a 长度相等、方向相反的向量，叫做
AB BC
3 、向量的减法：
a 的相反向量
②向量减法： 向量 a 加上 b 的相反向量叫做 的向量（ a 、 b 有共同起点） 4 、实数与向量的积：实数
（Ⅰ）
a 与 b 的差， ③作图法： a
b 可以表示为从 b 的终点指向 a 的终点
λ 与向量 a 的积是一个向量，记作 λ a ，它的长度与方向规定如下：
a a ； （Ⅱ）当
0 时， λ a 的方向与 a 的方向相同；当 0时， λ a 的方向与 a 的方向
相反；当
0 时， a 0 ，方向是任意的
5 、两个向量共线定理：向量 6、平面向量的基本定理：
b 与非零向量 a 共线
有且只有一个实数
，使得 b = a
如果 e1 ,e2 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量
a，有且只
有一对实数 1 2 使： a 二 .平面向量的坐标表示
,
1
e
1
2e2 ，其中不共线的向量 e1 ,e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底
1 平面向量的坐标表示：平面内的任一向量
a 可表示成 a xi yj ，记作 a =(x,y)。
2 平面向量的坐标运算：
(1) 若 a
x1, y1 , b
x2 , y2 ，则 a b
x1 x2 , y1
y2
(2) 若 A x1, y1 , B x2 , y2 ，则 AB (3) 若 a =(x,y)，则 (4) 若 a (5) 若 a
x2 x1 , y2 y1
a =( x,
y) ，则x1, y1 , b x , y , b
1
1
x2 , y2
2
2
a // b
x1 y2 x2 y1 0
x , y ，则 a b
x x
1
2
y
1
y
2
若 a
b ，则 x x
1
2
y y
1
2
0
三．平面向量的数量积
1 两个向量的数量积：
已知两个非零向量
a 与 b ，它们的夹角为
，则 a · =︱
︱·︱
b ︱cos
b
0
a
叫做 a 与 b 的数量积（或内积） 规定 0 a
2 向量的投影：︱
b ︱cos =
a b
∈R，称为向量 b 在 a 方向上的投影 投影的绝对值称为射影
| a |
3 数量积的几何意义：
a · 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上的投影的乘积
b
4 向量的模与平方的关系：
a a
a 2 | a |2
5 乘法公式成立：
2
2
a b a b a 2
b 2
a
b ；
2
2
2
a b
a 2 2a b b 2
a 2a b b
6 平面向量数量积的运算律：①交换律成立： a b b a
②对实数的结合律成立： a b
a b a b
R
③分配律成立：
a b c a c b c c
a b
特别注意：（ 1）结合律不成立： a b c
a b
c ；
（ 2）消去律不成立 a b a c 不能
b c
（ 3） a b =0
不能
a = 0 或 b = 0
7 两个向量的数量积的坐标运算：
已知两个向量 a ( x , y ), b
( x , y ) ，则 a · = x1 x2
y1 y2
1
1 2 2
b
8 向量的夹角： 已知两个非零向量 a 与 b ，作 OA = a , OB = b ,则∠ AOB= 夹角
cos = cos a, bab =
x1x2
y1 y2
a b
x12
y1 2 x2 2 y22
当且仅当两个非零向量 a 与 b 同方向时， θ =00，当且仅当 a 与 b 反方向时之间不谈夹角这一问题
9 垂直：如果 a 与 b 的夹角为 900 则称 a 与 b 垂直，记作 a ⊥ b
10 两个非零向量垂直的充要条件
：
a ⊥ b a · b ＝ O x1 x2 y1 y2 0 平面向量数量积的性质
00
1800 ）叫做向量 a 与 b 的
=1800，同时 0 与其它任何非零向量
（
θ
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