2013年广州市高考备考冲刺阶段数学学科训练材料4
（理科——函数）
12.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度 x（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0 ；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20?x?200时，车流速度v是车流密度x的一次函数． (1)当0?x?200时，求函数v?x?的表达式；
(2)当车流密度x为多大时，车流量f(x)?x?v(x)可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）. (车流量为单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）
13．某地区有荒山2200亩，从2002年开始每年年初在荒山上植树造林，
第一年植树100亩，以后每年比上一年多植树50亩．
（1）若所植树全部成活，则到哪一年可以将荒山全部绿化？
（2）若每亩所植树苗木材量为2立方米，每年树木木材量的自然增长率 为20％，那么到全部绿化后的那一年年底，该山木材总量是多少？（精确到１立方米, 1.2?4.3）
8?1?(x?0)18. 设k?R，函数f(x)??x，F(x)?f(x)?kx ，x?R．
?ex(x?0)?（1）当k?1时，求函数F(x)的值域；（2）试讨论函数F(x)的单调性． 19.已知函数f(x)?ax?b?c(a?0)的图像在点(1,f(1))处的切线方程为y?x?1. x（1）用a表示出b,c；
（2）若f(x)?lnx在[1,??)上恒成立，求a的取值范围； （3）证明：1?111n???????ln(n?1)?(n?1). 23n2(n?1)221. 已知函数f?x??x?2?alnx?x?0?,f?x?的导函数是f'?x?, 对任意两个不相等 xf?x1??f?x2??x?x??f?12?; 的正数x1,x2, 证明: (1)当a?0时,
2?2? (2)当a?4时, f'?x1??f'?x2??x1?x2
12. 解:(1)由题意，当0?x?20时，v(x)?60;当20?x?200时，设v(x)?ax?b.
1?60,0?x?20?a?????200a?b?0?3?v(x)??1由已知得?.,解得?(200?x),20?x?200. ??3?20a?b?60?b?200?3?请浏览后下载，资料供参考，期待您的好评与关注！
?60x,0?x?20?.当0?x?20时，f(x)为增函数，(2)依题意得f(x)??x故f(x)?1200.
(200?x),20?x?200??3当20?x?200时，x?100时，f(x)取最大值
10000?3333. 3答：车流密度x为100时，车流量f(x)达到最大值3333.
13.解：（1）设植树n年后可将荒山全部绿化，记第n年初植树量为an，依题意知数列{an}是首项
a1?100，公差d?50的等差数列，则100n?n?n?1??50?2200, 即
2n2?3n?88?0?(n?11)(n?8)?0
∵n?N ∴n?8∴到2009年初植树后可以将荒山全部绿化． （2）2002年初木材量为2a1m，到2009年底木材量增加为2a1(1.2)m, 2003年初木材量为2a2m，到2009年底木材量增加为2a2(1.2)m,…… 2009年初木材量为2a8m，到2009年底木材量增加为2a8?1.2m.
876则到2009年底木材总量S?2a1?1.2?2a2?1.2?2a3?1.2??383
373
33?2a8?1.2
S?900?1.2?800?1.22??400?1.26?300?1.27?200?1.28----------①
?400?1.27?300?1.28?200?1.29---------②
1.2S?900?1.22?800?1.23?②-①得
0.2S?200?1.29?100?(1.22?1.23??1.28)?900?1.2?700?1.29?500?1.22?900?1.2?840?1.28?1800?840?4.3?1800?1812
∴S?9060ｍ2
答：到全部绿化后的那一年年底，该山木材总量为9060ｍ2
?1??x(x?0)18.解:（1）F(x)??x，
?ex?x(x≤0)?当x?0时，F(x)?1?x≥2，即x?1时，F(x)最小值为2． xx当x≤0时，F(x)?e?x，在???,0?上单调递增，所以F(x)≤F(0)?1． 所以k?1时，F(x)的值域为(??,1][2,??]．
请浏览后下载，资料供参考，期待您的好评与关注！
1?k?(x?0)?（2）依题意得F'(x)?? x2?ex?k(x≤0)?①若k?0，当x?0时，F(x)?0，F(x)递减，当x≤0时，F(x)?0，F(x)递增．
'''②若k?0，当x?0时，令F(x)?0，解得x?1， k 当0?x?11''时，F(x)?0，F(x)递减，当x?时，F(x)?0，F(x)递增． kk' 当x?0时，F(x)?0，F(x)递增．
③若?1?k?0，当x?0时，F(x)?0，F(x)递减． 当x?0时，解F(x)?e?k?0得x?ln(?k)， 当ln(?k)?x?0时，F(x)?0，F(x)递增， 当x?ln(?k)时，F(x)?0，F(x)递减．
④k≤?1，对任意x?0，F(x)?0，F(x)在???,0?,?0,???上递减．
''''x'综上所述，略
'?f(1)?a?b?1?b?a?1b',解得?19. 解：（1）f(x)?a?2,则有?.
xc?1?2af(1)?a?b?c?0??a?1?1?2a. xa?1令g(x)?f(x)?lnx?ax??1?2a?lnx,x?[1,??).g(1)?0,
x1?aa(x?1)(x?)a?11'a. g(x)?a?2??2xxx1?a11?a'?1.若1?x?①当0?a?时，，g(x)?0,g(x)是减函数，∴g(x)
aa2?g(1)?0，即f(x)?lnx,故f(x)?lnx在[1,??)不恒成立.
1?a1?1.若x?1，g'(x)?0,g(x)是增函数，∴g(x)?g(1)?0， ②当a?时，a21即f(x)?lnx,故x?1时f(x)?lnx.综上所述，a的取值范围是[,??).
21111（3）由（2）知，当a?时，有f(x)?lnx(x?1).令a?，则f(x)?(x? )?lnx.即当x?12x22k?1k?11k?1k11?(?) 时，总有(x?)?lnx.令x?，则lnk2xk2kk?1 （2）由（1）得f(x)?ax?请浏览后下载，资料供参考，期待您的好评与关注！
111111?(?),ln(k?1)?lnk?(?),k?1,2,???,n.将上述n个不等式累加得2kk?12kk?1ln(n?1)?11111111n?(??????)?,整理得1???...??ln(n?1)? 223n2(n?1)23n2(n?1)21. 略解：（1）
f?x1??f?x2?2?11?a122??x1?x2???????lnx1?lnx2? 2?x1x2?22x?x212x?x4?x?x??x?x?2?alnx1x2.f?12???12?? ??x1?x2??1?aln12，
2x1x22?2??2?x1?x212122?x1?x2?2222而?x1?x2?x?x?2xx???1212???,又?x1?x2??x1?x2?2x1x2?4x1x2,得24?2?x1?x24?, x1x2x1?x2又x1x2?2x1?x2x?x2x?x2,得lnx1x2?ln1,由于a?0,故alnx1x2?aln1. 222212x?x24x1?x2?x?x2?2x1?x2?1?alnx1x2??1所以??aln???2x1x22?2?x1?x2.所以
f?x1??f?x2??x?x??f?12?.
2?2?2?x1?x2?a2a''?（2）f?x??2x?2?，故f?x1??f?x2??x1?x22? 2xxx12x2x1x2' f'?x1??f'?x2??x1?x2?2?2?x1?x2?2x12x2?a?1， x1x22?x1?x2?a下面证明：2???1成立. 2x12x2x1x2法1：2?2?x1?x2?2x12x2?a?2?x1x24?x1x23?3?a?2?x1x24?x1x2?3?4. x1x2 令t?1x1x2，则u?t??2?4t?4t2?2?38ut?u?1.即，可知t?0????????3?272?2?x1?x2?a??1. 22x1x2x1x22?x1?x2?2?x1?x2?2?x1?x2?4a法2：2?即 由于. xx??xx???1a?xx?1212122x1x2x12x2x1x2x1x2x1x2请浏览后下载，资料供参考，期待您的好评与关注！
令t?x1x2，则u?t??t2?4?t?0?，可知u?t??ut?2??3334?3108?4?a.
故a?x1x2?2?x1?x2?成立.
x1x2请浏览后下载，资料供参考，期待您的好评与关注！
2013年广州市高考备考冲刺阶段数学学科训练材料
