数学Ⅱ(附加题)
21．【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算．．步骤．
A．[选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)
如图，圆O的半径为2，AB为圆O的直径，P为AB延长线上一点，过P作圆O的切线，切点为C．若PC?23，求 BC 的长． B．[选修4—2：矩阵与变换](本小题满分10分)
?23?已知矩阵A???． 12??（1）求A的逆矩阵A?1；
（2）若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P?(3,1)，求点P的坐标． C．[选修4—4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)
π在极坐标系中，直线l的方程为?sin(??)?2，曲线C的方程为??4cos?，求直线l
6被曲线C截得的弦长．
D．[选修4—5：不等式选讲](本小题满分10分)
若x，y，z为实数，且x+2y+2z=6，求x2?y2?z2的最小值．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解．．．．．．．答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）
如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．
（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值； （2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值． 23．(本小题满分10分)
设n?N*，对1，2，···，n的一个排列i1i2in，如果当s 则称(is,it)是排列i1i2in的一个逆序，排列i1i2in的所有逆序的总个数称为其逆序 数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231的逆序数为2．记fn(k)为1，2，···，n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数． （1）求f3(2),f4(2)的值； （2）求fn(2)(n?5)的表达式(用n表示)． 数学Ⅱ(附加题)参考答案 21．【选做题】 A．[选修4—1：几何证明选讲] 本小题主要考查圆与三角形等基础知识，考查推理论证能力．满分10分． 证明：连结OC．因为PC与圆O相切，所以OC⊥PC． 又因为PC=23，OC=2， 所以OP=PC2?OC2=4． 又因为OB=2，从而B为Rt△OCP斜边的中点，所以BC=2． B．[选修4—2：矩阵与变换] 本小题主要考查矩阵的运算、线性变换等基础知识，考查运算求解能力．满分10分． ?23?解：（1）因为A???，det(A)?2?2?1?3?1?0，所以A可逆， 12???2?3?从而A?1???． ?12???23??x??3??x??3??1?3???A?（2）设P(x，y)，则?，所以??y??1??y??1???1?， 12????????????因此，点P的坐标为(3，–1)． C．[选修4—4：坐标系与参数方程] 本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分． 解：因为曲线C的极坐标方程为?=4cos?， 所以曲线C的圆心为（2，0），直径为4的圆． π因为直线l的极坐标方程为?sin(??)?2， 6则直线l过A（4，0），倾斜角为 π， 6所以A为直线l与圆C的一个交点． 设另一个交点为B，则∠OAB= π． 6π， 2连结OB，因为OA为直径，从而∠OBA=所以AB?4cosπ?23． 6因此，直线l被曲线C截得的弦长为23． D．[选修4—5：不等式选讲] 本小题主要考查柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力．满分10分． 证明：由柯西不等式，得(x2?y2?z2)(12?22?22)?(x?2y?2z)2． 因为x?2y?2z=6，所以x2?y2?z2?4， 当且仅当 xyz244??时，不等式取等号，此时x?，y?，z?， 122333所以x2?y2?z2的最小值为4． 22．【必做题】本小题主要考查空间向量、异面直线所成角和线面角等基础知识，考查运用 空间向量解决问题的能力．满分10分． 解：如图，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，设AC，A1C1的中点分别为O，O1，则OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，以{OB,OC,OO1}为基底，建立空间直角坐标系O?xyz． 因为AB=AA1=2， 所以A(0,?1,0),B(3,0,0),C(0,1,0),A1(0,?1,2),B1(3,0,2),C1(0,1,2)． （1）因为P为A1B1的中点，所以P(从而BP?(?31,?,2)， 2231,?,2),AC1?(0,2,2)， 22故|cosBP,AC1|?|BP?AC1||BP|?|AC1|?|?1?4|5?22?310． 20310． 20因此，异面直线BP与AC1所成角的余弦值为（2）因为Q为BC的中点，所以Q(因此AQ?(31,,0)， 2233,,0)，AC1?(0,2,2),CC1?(0,0,2)． 22设n=（x，y，z）为平面AQC1的一个法向量， ?33?x?y?0,??AQ?n?0,则?即?2 2??AC1?n?0,??2y?2z?0.不妨取n?(3,?1,1)， 设直线CC1与平面AQC1所成角为?， 则sin??|cosCC1,n|?|CC1?n||CC1|?|n|?25?2?5， 55． 5所以直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为23．【必做题】本小题主要考查计数原理、排列等基础知识，考查运算求解能力和推理论证 能力．满分10分． 解：（1）记?(abc)为排列abc的逆序数，对1，2，3的所有排列，有 ?(123)=0，?(132)=1，?(213)=1，?(231)=2，?(312)=2，?(321)=3， 所以f3(0)?1，f3(1)?f3(2)?2． 对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置． 因此，f4(2)?f3(2)?f3(1)?f3(0)?5． （2）对一般的n（n≥4）的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n，所以fn(0)?1． 逆序数为1的排列只能是将排列12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以fn(1)?n?1． 为计算fn?1(2)，当1，2，…，n的排列及其逆序数确定后，将n+1添加进原排列，n+1在新排列中的位置只能是最后三个位置． 因此，fn?1(2)?fn(2)?fn(1)?fn(0)?fn(2)?n． 当n≥5时，
2018江苏数学高考真题
