第一章 三角函数
一、任意角
1．广义角 正角：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角．
按边旋转的方向分 零角：如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角． 角 负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角． 的 第一象限角{α|k?360°＜α＜90°+k?360°，k∈Z} 分 象限角 第二象限角{α|90°+k?360°＜α＜180°+k?360°，k∈Z} 类 第三象限角{α|180°+k?360°＜α＜270°+k?360°，k∈Z} 按终边的位置分 第四象限角{α|270°+k?360°＜α＜360°+k?360°，k∈Z} 或{α|－90°+k?360°＜α＜k?360°，k∈Z}
轴上角（象间角）：当角的终边与坐标轴重合时叫轴上角，它不属于任何一个象限．
2．终边相同角的表示：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S={β|β=α+ k?360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和． 3．几种特殊位置的角：
（1）终边在x轴上的非负半轴上的角：α= k?360°，k∈Z； （2）终边在x轴上的非正半轴上的角：α=180°+ k?360°，k∈Z； （3）终边在x轴上的角：α= k?180°，k∈Z； （4）终边在y轴上的角：α=90°+ k?180°，k∈Z； （5）终边在坐标轴上的角：α= k?90°，k∈Z； （6）终边在y=x上的角：α=45°+ k?180°， k∈Z；
（7）终边在y=－x上的角：α= －45°+ k?180°， k∈Z或α=135°+ k?180°， k∈Z； （8）终边在坐标轴或四象限角平分线上的角：α= k?45°，k∈Z． 例1 已知α为锐角，那么2α是（ ）．
A．小于180°的正角 B．第一象限的角 C．第二象限的角 D．第一或第二象限的角 答案：A
解析：∵α为锐角，∴0°＜α＜90°，∴0°＜2α＜180°，故选A．
例2 射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，由OB位置顺时针旋转270°到达OC位置，则∠AOC＝（ ）．
A．150° B．－150° C．390° D．－390° 答案：B
解析：各角和的旋转量等于各角旋转量的和，∴120°＋（－270°）＝－150°． 例3 如图所示，终边落在阴影部分的角的集合是（ ）．
A．{α|－45°≤α≤120°} B．{α|120°≤α≤315°}
C．{α|k?360°－45°≤α≤k?360°＋120°，k∈Z} D．{α|k?360°＋120°≤α≤k?360°＋315°，k∈Z} 答案：C
解析：由如图所知，终边落在阴影部分的角的取值是k?360°－45°≤α≤k?360°＋120°，k∈Z，故选C．
二、弧度制
1．弧度：在圆中，把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示． 2．一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0． 3．如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是??l． rn?r??r； 相关公式：（1）l?1804．角度制与弧度制的换算：（1）1?=1n?r21??r2． （2）S?lr?23602?180rad；
（2）1rad＝(180?)?．
例1 扇形的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角是（ ）弧度． πππ
A．π B． C． D．
234答案：C
π
解析：∵圆心角所对的弦长等于半径，∴该圆心角所在的三角形为正三角形，∴圆心角是弧度．
3例2 在直角坐标系中，若角α与角β终边关于原点对称，则必有（ ）．
A．α＝－β B．α＝－2kπ±β（k∈Z） C．α＝π＋β D．α＝2kπ＋π＋β（k∈Z） 答案：D
解析：将α旋转π的奇数倍得β．
例3 在半径为3cm的圆中，60°的圆心角所对的弧的长度为（ ）． π3π2πA．cm B．πcm C．cm D．cm
323答案：B
π解析：由弧长公式得，l＝|α|r＝×3＝π（cm）．
3
三、三角函数定义
1．单位圆：在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆． 2．利用单位圆定义任意角的三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么：
（1）y叫做α的正弦，记作sinα，即sinα=y； （2）x叫做α的余弦，记作cosα，即cosα=x； （3）
yy叫做α的正切，记作tanα，即tanα=（x≠0）． xx3．同角三角函数的基本关系
平方关系：sin2??cos2??1 ? sin???1?cos2?；cos???1?sin2?． 商的关系：当α≠kπ+
πsin?（k∈Z）时，?tan?． 2cos?4
D．－
5
例1 已知角α的终边经过点（－4，3），则cosα＝（ ）． 433A． B． C．－ 555答案：D
x4解析：由条件知：x＝－4，y＝3，则r＝5，∴cosα＝＝－．
r5例2若sinθ?cosθ＜0，则θ在（ ）．
A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第一、四象限 D．第二、四象限 答案：D
解析：∵sinθcosθ＜0，∴sinθ，cosθ异号．当sinθ＞0，cosθ＜0时，θ在第二象限；当sinθ＜0，cosθ
人教A版高中数学必修4第一章 三角函数 复习学案
