第7讲 三角形的概念及边角关系
一、知识梳理
（一）三角形的基本概念及性质：
1．三角形的定义 ① 边 ② 顶点 ③ 角 ④ 外角
2．三角形中的几条主要线段：
① 三角形的角平分线；② 三角形的中线；③ 三角形的高线 3．三角形的主要性质：
① 三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边． ② 三角形的三个内角之和等于180?
③ 三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，等于和它不相邻的两个内角和． ④ 三解形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角． ⑤ 三角形具有稳定性，即三边长确定后三角形的形状保持不变．
（二）三角形的分类：
二、典例剖析
例1. △ABC中，AB＝5，BC＝7，则AC的取值范围是____________________．
变式1.有4根木条，长度分别为12 、10 、8 、4选其中三根组成三角形则能组____个三角形．
变式2. 若等腰三角形，一边长为4 cm，另一边为9 cm，则三角形的周长是 _______ cm．
变式3. AD是△ABC的中线，AC=3，AB=4，那么△ABD和△ADC的周长之差是 __ 。
变式4. 等腰三角形的一边长是8 cm，周长是18 cm，则等腰三角形的腰长是 cm.
例2. △ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则△ABC是______三角形．
变式1. 如图，AD、BC相交于O点，AB∥CD，∠B＝30o，∠AOB＝100°，
则∠ADE＝__________．
变式2. 如图，已知∠1＝20o，∠2＝25o，∠A＝36°，则∠BDC＝______．
变式3.已知△ABC的三个内角∠A，∠B，∠C，满足∠B＋∠C＝3∠A，则此三角形（ ）
A．一定有一个内角45° B．一定有一个内角80° C．一定是直角三角形 D．一定是钝角三角形
1
例3. 下列结论正确的是（ ）
A. 三角形的外角一定大于内角 B． 三角形的三条高线都在三角形的内部 C. 三角形任何两边之和不小于第三边
Ｄ. 三角形的内角平分线与相邻外角的平分线互相垂直
变式1.三角形的角平分线、中线、高都是（ ）
A．直线 B．射线 C．线段 D．不确定
变式2. 若a，b，c为△ABC的三边，则代数式 (a－b＋c)(a－b－c) 的值为（ ）
A．大于零 B．等于零 C．小于零 D．无法确定
变式3. 在△ABC中,D是BC上的点,且BD:DC=2:1,S△ACD=12,那么S△ABC等于( ) A.30 B.36 C.72 D.24
例4. 在△ABC中,∠A=50°,高BE与,角平分线AD所在的直线交于点O,
求∠BOD的度数.
A
O
B D
E C
变式1. （山西中考题） 如图，已知△ABC中，AD⊥BC于D，AE为∠BAC的平分线， A
且∠B=35?，∠C=65?，求∠DAE的度数。
变式2. （河北中考题）如图所示,在△ABC中,D是B C边上一点,∠1=∠2,∠3=∠4, ∠BAC=63°, 求∠DAC的度数.
A
_ 1
_ 24 __ 3 C B D
B
E
D
C
2
例5.（贵阳中考题）如图, 在△ABC中,已知点D,E,F分别为边BC,AD,CE
2
的中点,且S △ABC=4cm,求S阴影的面积. 变式. ( 湖北·中考题 )如图，⊿ABC中，点D、E、F分别在三边上，E是AC的中点，AD、BE、CF交于一点G， BD=2DC, SGEC=3，SGDC=4, 则⊿ABC的面积是（ ）.
A. 25 B. 30 C. 35 D. 40
_ A_ E_ F_ B_ D_ CA F E G B D
C
三、创新探究（名校、名书、名题、中考、培优、竞赛）
1．（扬州·中考）△ABC中，3∠A＝∠B＋∠C，∠C－∠B＝45°，则△ABC为____三角形
2. （威海·中考）若三角形三个外角的度数之比为4：3：2，则三个内角之比为__________． 3．（深圳·中考）已知a，b，c是△ABC的三边， a＝3，b＝5且三角形的周长是奇数，则c = ______ 。
4. （济宁·中考）设a、b、c是?ABC的三边，化简a?b?c?a?b?c?_____.
5．（红河·中考题）在△ABC中,AB=AC,AD是中线,△ABC的周长为34cm,△ABD的周长为30cm, 则AD的长为______cm.
6．（黑龙江·中考题）△ABC的周长为15cm，且a－b＝c－1，a－3c＝1，则a＝____，b＝____，c＝____． 7. （“希望杯”选拔赛试题） 如图，P是△ABC内一点，
求证：（1）∠BAC <∠BPC （2）AB＋AC>PB＋PC．
3
8.（吉林·中考题）如图, ∠ABC, ∠ACB的内角平分线交于点O, ∠ABC的内角平分线与∠ACB的外角平分线交于点D, ∠ABC与∠ACB的相邻外角平分线交于点E, 且∠A=60°,
_ A
求：∠BOC、∠D、∠E的度数. _ D
_ O
_ B_ C
_ E
9．（“希望杯”选拔赛试题）如图，M、N是△ABC内两点， A 求证： AB＋AC>BM+MN+NC
M N
B C 10．（长春·中考）如图所示，已知∠A＝30°，试求∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数．
4
望子成龙学校家庭作业
校区： 学号： 姓名：______ 作业等级：______
第一部分：
1．下列各组数据，可以构成等腰三角形的是（ ） A．1，2，1 B．2，2，1 C．1，3，1 D．2，2，5
2．已知a，b，c是△ABC的三边， a＝2，b＝5且三角形的周长是偶数，则c等于（ ） A．4 B．6 C．5 D．4或6
A 3．如图, △ABC中，∠B＝30°，∠C＝50°，AD⊥BC于D，
AE平分∠BAC交BC于E，则∠DAE＝__________． A．40° B．50° C．10° D．60° 4．和一个已知点P距离等于2厘米的直线可画（ ）条． A．1 B．2 C．3 D．无数 C B E D 5．点P是直线l外一点，点A、B、C是直线l上三点，且PA＝10，PB＝8，PC＝6，那么点P到直线l的距离为（ ）．
A．6 B．8 C．小于6的数 D．不大于6的数 第二部分：
6．△ABC中，AB＝5，BC＝7，则其周长L的取值范围是__________．
7．若等腰三角形，一边长为4 cm，另一边为9 cm，则三角形的周长是__________cm．
8．不等边△ABC的三条边为整数且a?3+(b－２)＝0，则c＝__________．
2
9． 已知长度为a－2，a，a＋2的三条线段能组成一个三角形，则a的取值范围是______． 10. △ABC中，若?A?11?B??C,则△ABC是___________三角形 3511. 已知：如图，△ABC中，BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的
平分线，过O点的直线分别交AB、AC于点D、E，且DE∥BC． 若AB＝6cm，AC＝8cm，则△ADE的周长为______． 第三部分：
12.（上海·中考）如图所示，∠A＝28°，∠BFC＝92°，∠B＝∠C，求∠BDC的度
13.（泉州·中考题）△ABC中，∠B>∠C，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，
求证：∠DAE=
1(?B??C) 2
5
初一数学 第7讲：三角形的概念及边角关系 2
