一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，△ABC内接于⊙O，BC?2,AB?AC，点D为AC上的动点，且cosB?(1)求AB的长度；
(2)在点D运动的过程中，弦AD的延长线交BC的延长线于点E，问AD?AE的值是否变化？若不变，请求出AD?AE的值；若变化，请说明理由.
(3)在点D的运动过程中，过A点作AH⊥BD，求证：BH?CD?DH.
10. 10
【答案】(1) AB【解析】
10；(2) AD?AE?10；（3）证明见解析.
【分析】（1）过A作AF⊥BC，垂足为F，交⊙O于G，由垂径定理可得BF=1，再根据已知结合RtΔAFB即可求得AB长；
（2）连接DG，则可得AG为⊙O的直径，继而可证明△DAG∽△FAE，根据相似三角形的性质可得AD?AE=AF?AG，连接BG，求得AF=3，FG=
1，继而即可求得AD?AE的值； 3（3）连接CD，延长BD至点N，使DN=CD，连接AN，通过证明△ADC≌△ADN，可得AC=AN，继而可得AB=AN，再根据AH⊥BN，即可证得BH=HD+CD. 【详解】（1)过A作AF⊥BC，垂足为F，交⊙O于G，
1BC=1， 2BF1??10RtΔAFBBF=1∴AB=cosB在中，，； 1010∵AB=AC，AF⊥BC，∴BF=CF=（2）连接DG，
∵AF⊥BC，BF=CF，∴AG为⊙O的直径，∴∠ADG=∠AFE=90°， 又∵∠DAG=∠FAE，∴△DAG∽△FAE， ∴AD：AF=AG：AE， ∴AD?AE=AF?AG，
连接BG，则∠ABG=90°，∵BF⊥AG，∴BF2=AF?FG， ∵AF=∴FG=
AB2?BF2=3，
1， 3∴AD?AE=AF?AG=AF?（AF+FG）=3×
10=10； 3（3）连接CD，延长BD至点N，使DN=CD，连接AN，
∵∠ADB=∠ACB=∠ABC，∠ADC+∠ABC=180°，∠ADN+∠ADB=180°， ∴∠ADC=∠ADN， ∵AD=AD，CD=ND， ∴△ADC≌△ADN， ∴AC=AN，
∵AB=AC，∴AB=AN， ∵AH⊥BN， ∴BH=HN=HD+CD.
【点睛】本题考查了垂径定理、三角函数、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等，综合性较强，正确添加辅助线是解题的关键.
2．（6分）某海域有A，B两个港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口60海里，有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处，求该船与B港口之间的距离即CB的长（结果保留根号）．
【答案】【解析】
．
试题分析：作AD⊥BC于D，于是有∠ABD=45°，得到AD=BD=正切的定义求出CD的长，得到答案．
，求出∠C=60°，根据
试题解析：作AD⊥BC于D，∵∠EAB=30°，AE∥BF，∴∠FBA=30°，又∠FBC=75°，∴∠ABD=45°，又AB=60，∴AD=BD=
，∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°，∠ABC=45°，
∴∠C=60°，在Rt△ACD中，∠C=60°，AD=∴BC=
，则tanC=，∴CD==海里．
，
．故该船与B港口之间的距离CB的长为
考点：解直角三角形的应用-方向角问题．
3．如图，在△ABC中，AB=7.5，AC=9，S△ABC=
81．动点P从A点出发，沿AB方向以每秒45个单位长度的速度向B点匀速运动，动点Q从C点同时出发，以相同的速度沿CA方向向A点匀速运动，当点P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动，以PQ为边作正△PQM（P、Q、M按逆时针排序），以QC为边在AC上方作正△QCN，设点P运动时间为t秒． （1）求cosA的值；
（2）当△PQM与△QCN的面积满足S△PQM=
9S△QCN时，求t的值； 5（3）当t为何值时，△PQM的某个顶点（Q点除外）落在△QCN的边上．
【答案】（1）coaA=
439；（2）当t=时，满足S△PQM=S△QCN；（3）当t=27?33s或
2655527?33s时，△PQM的某个顶点（Q点除外）落在△QCN的边上．
26【解析】
分析：（1）如图1中，作BE⊥AC于E．利用三角形的面积公式求出BE，利用勾股定理求出AE即可解决问题；
（2）如图2中，作PH⊥AC于H．利用S△PQM=
9S△QCN构建方程即可解决问题； 5（3）分两种情形①如图3中，当点M落在QN上时，作PH⊥AC于H．②如图4中，当点M在CQ上时，作PH⊥AC于H．分别构建方程求解即可； 详解：（1）如图1中，作BE⊥AC于E．
∵S△ABC=∴BE=
181?AC?BE=，
429， 2AB2?BE2=6，
在Rt△ABE中，AE=∴coaA=
AE64??． AB7.55（2）如图2中，作PH⊥AC于H．
∵PA=5t，PH=3t，AH=4t，HQ=AC-AH-CQ=9-9t， ∴PQ2=PH2+HQ2=9t2+（9-9t）2， ∵S△PQM=∴
9S△QCN， 5393?PQ2=??CQ2， 4549×（5t）2， 5整理得：5t2-18t+9=0，
∴9t2+（9-9t）2=解得t=3（舍弃）或∴当t=
3． 539时，满足S△PQM=S△QCN． 55（3）①如图3中，当点M落在QN上时，作PH⊥AC于H．
易知：PM∥AC， ∴∠MPQ=∠PQH=60°， ∴PH=3HQ， ∴3t=3（9-9t）， ∴t=27?33．
26②如图4中，当点M在CQ上时，作PH⊥AC于H．
同法可得PH=3QH， ∴3t=3（9t-9）， ∴t=27+33， 262627+33s时，△PQM的某个顶点（Q点除外）落在△QCN综上所述，当t=27?33s或26的边上．
点睛：本题考查三角形综合题、等边三角形的性质、勾股定理锐角三角函数、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
4．已知Rt△ABC中，AB是⊙O的弦，斜边AC交⊙O于点D，且AD=DC，延长CB交⊙O于点E．
人教 中考数学(锐角三角函数提高练习题)压轴题训练及答案
