2012版高三数学一轮精品复习学案：第三章三角函数、解三角形3．2
解三角形
【高考目标导航】
一、正弦定理和余弦定理 1、考纲点击
掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题； 2、热点提示
（1）利用正、余弦定理求三角形中的边、角及其面积问题是高考考查的热点；
（2）常与三角形等变换相结合，综合考查三角形中的边与角、三角形形状的判断等； （3）在平面解析几何、立体几何中常作为工具求角和两点间的距离问题。 二、应用举例 1、考纲点击
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。 2、热点提示
（1）对解决实际问题中的角度、方向、距离及测量问题的考查是高考考查的重点； （3）在选择题、填空题、解答题中都可能考查，多属中低档题。 【考纲知识梳理】
一、正弦定理和余弦定理 1、正弦定理和余弦定理 定理 内容 正弦定理 余弦定理 abc???2R sinAsinBsinCa2?b2?c2?2bccosA,b2?c2?a2?2accosB, c2?a2?b2?2abcosC.变形①a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC; abc形式 ②sinA=,sinB=,sinC=; 2R2R2R③a:b:c=sinA: sinB: sinC; ④a?b?ca ?sinA?sinB?sinCsinAb2?c2?a2cosA?;2bca2?c2?b2cosB?; 2caa2?b2?c2cosC?.2ab解决① 已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ① 已知三边，求各角； 的问② 已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他② 已知两角和它们的夹角，求题 两角。 第三边和其他两个角。 注：在ΔABC中，sinA>sinB是A>B的充要条件。（∵sinA>sinB?2、在在ΔABC中，已知a,b和A时，解的情况如下：
ab? ?a>b?A>B）2R2R
3、三角形中的一些常用结论
在⊿ABC中，设角A、B、C的对边长度分别为（1）三角形内角和定理 A+B+C=?
（2）三角形中的诱导公式
Sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tan(A+B)=-tanC,
（3）三角形中的边角关系
三角形中等边对等角，大边对大角，反之亦然；
三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 （4）三个重要结论
①A＞B＞C?sinA＞sinB＞sinC; ②sinA:sinB:sinC=a:b:c.
③
二、应用举例
1、实际问题中的常用角 （1）仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（如图①）
（2）方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）
注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的。
（3）方向角：相对于某一正方向的水平角（如图③）
①北偏东?即由指北方向顺时针旋转?到达目标方向； ②北偏本?即由指北方向逆时针旋转?到达目标方向；
③南偏本等其他方向角类似。
（4）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角） 坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，i为坡比） 2、ΔABC的面积公式
1aha(ha表示a边上的高)； 2111abc（2）S?absinC?acsinB?bcsinA?(R为外接圆半径)；
2224R1（3）S?r(a?b?c)(r为内切圆半径)。
2（1）S?【热点难点精析】
一、正弦定理和余弦定理
（一）正弦定理、余弦定理的简单应用 ※相关链接※
1、已知两边和一边的对角解三角形时，可有两解、一解、无解三种情况，应根据已知条件判断解的情况，主要是根据图形或由“大边对大角”作出判断；
2、应熟练掌握余弦定理及其推论。解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷；
3、三角形中常见的结论 （1）A+B+C=π；
（2）在三角形中大边对大角，反之亦然；
（3）任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边； （4）三角形内的诱导公式
sin(A?B)?sinC;cos(A?B)??cosC;tan(A?B)??tanC;sinA?BCA?BC?cos;cos?sin.2222 （5）在ΔABC中，tanA+tanB+tanC= tanA·tanB·tanC.
※例题解析※
〖例1〗在ΔABC中，已知a=7,b=3,c=5,求最大角和sinC
解答：由已知得a>c>b,∴A为最大角。由余弦定理得：
高三数学一轮 3.2 解三角形精品复习学案
