毕业论文开题报告
数学与应用数学 非初等原函数的几种类型
一、选题的背景与意义
学好微积分学是大学理工科学生学好专业课的一个前提条件，我们知道，不定积分
?f(x)dx初等性是指f?x?的原函数是初等函数；而不定积分?f(x)dx的非初等性是指
f?x?的原函数不是初等函数。学过数学分析和高等数学的人都知道，初等函数在其定义
域内是连续的，而任何连续函数的不定积分都是存在的，由于不定积分就是求函数的原函数，因此，每个初等函数在其定义区间上都有原函数。在实际求积分的过程中，能够通过不定积分的方法求得原函数的函数，它的原函数一定是初等函数，在很多时候让人伤脑筋的是，看起来很简单的不定积分试用各种不定积分的方法都不能求出其结果，很令人费解。
事实上，并不是每一个初等函数在其定义域内的原函数都是初等函数，而这些函数的原函数是不能用不定积分方法求得的，也就是说这些函数的不定积分“积不出来”。在学到不定积分内容时，老师通常会结论性地告诉学生某些不定积分是不能用初等函数来表达的，既不证明，也没有更多的说明。这难免不使学生感到疑惑和不踏实，也容易使学生误以为不能用初等函数表示的不定积分很少，同时也可能会使学生在遇到原函数不是初等函数的问题时，为试图寻求原函数求解而煞费苦心，浪费时间。可见，给出更多积不出函数的例子和一些判断不定积分是否是初等函数的法则是很有必要的。 二、研究的基本内容与拟解决的主要问题 研究的基本内容：
1、如何判断一个函数的原函数不是初等函数； 2、如何求原函数不是初等函数的原函数； 3、归纳、总结原函数非初等性的几种类型。 拟解决的主要问题：
1. 提出一些“积不出来”的积分类型；
2. 对于非初等原函数的定积分利用不变限代换求解； 3. 从理论上证明原函数的非初等性。
三、研究的方法与技术路线：
首先通过查阅相关文献资料，熟悉本课题前人已经做的研究工作；同时进一步深入学习不变限代换的思想，其次在前人研究的基础上推导并证明一些“积不出来”的积分类型；最后着手进行本课题内容的写作。 四、研究的总体安排与进度：
2010年11月中旬至2010年12月中旬，查阅相关的资料，完成开题报告。
2010年12月中旬至2010年12月下旬，进一步完善开题报告，文献综述,初期检查。 2011年1月上旬至2011年3月中旬, 继续设计，整理资料。
2011年3月下旬至2011年4月上旬，完成非初等原函数类型的整理，设计证明，中期检查。
2011年4月中旬，完成整体设计，答辩。 五、主要参考文献：
[1]杨玉文.“积不出来”函数的判定和积分[J].赤峰学院报，2006，22（3）：3-12. [2]王建华.周丽萍.某些不定积分的非初等性问题[J].呼伦贝尔学院报，2005，13 （2）：71-73.
[3] 张建新.不定积分的非初等性[J].沙洲职业工学院学报，2001，4（2）：35-38. [4] 周民强.数学分析（第一册）[M].上海科学技术出版社，2002.
[5] 张春苟.不定积分中“积不出”问题[J].数学的实践与认识，2009，39（7）：212- 224.
[6] B.П.吉米多维奇著，李荣冻译.数学分析习题集[M].人民教育出版社，1958. [7] 陈纪修，於崇华，金路.数学分析[M].文小西.第二版。北京：高等教育出版社， 2004.
[8] 王文.非初等函数的判别法[J].大学数学，2008，24（3）：165-168. [9]OLIVIER ESPINOSA,VICTOR H.MOLL.On Some Integrals Involving the Hurwitz Zeta Function: Part 2[J].THE RAMANUJAN JOURNAL,6,449–468, 2002 Kluwer Academic Publishers. Manufactured in The Nether lands.
[10] M. V. Lomonosov Moscow State University. Translated from Matematicheskie Zametki,
Vol. 9, No.3, pp. 311-321, March, 1971. Original article submitted December 16, 1969.
非初等原函数的几种类型【开题报告】
