2012年全国高中数学联赛模拟卷(4)第一试
(考试时间：80分钟 满分：120分)
姓名：_____________考试号：______________得分：____________
一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）
1．各项均为实数的等比数列{an}，前n项之和记为Sn. 若S10?10，S30?70，则S60? ．
2．关于x的方程2cos2(22x?x)?a?3sin(22x?x?1)至少有一个解,则实数a的范围是_____________ 3．已知正四棱锥P－ABCD的五个顶点在同一个球面上. 若该四棱锥的体积为V，则球的表面积的最小值为_____________． 4．已知A?{xx2?4x?3?0,x?R},B?{x21?x?a?0,x2?2(a?7)x?5?0,x?R}.若A?B, 则实数a的取值范围是 .
5．一个盒中有9个正品和3个废品，每次取一个产品，取出后不在放回，在取得正品前已取出的废品数?的数学期望E?=_________________．
132226．若非负实数x,y,z满足x?y?z?x?2y?3z?，则(x?y?z)min? .
47．正整数n使得n?2005是完全平方数, 则(n2?2005)n的个位数字是 ． 8．在平面直角坐标系内，将适合x＜y, |x|＜3, |y|＜3, 且使关于t的方程(x?y)t?(3x?y)t?没有实数根的点(x,y)所成的集合记为N，则由点集N所成区域的面积为 _______.
3342222＝0x－y
1
二、解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分）
5
9．已知定义在R上的函数f (x)满足：f (1)＝，且对于任意实数x、y，总有f(x)f(y)?f(x?y)?f(x?y)
2
成立. （1）若数列{an}满足an?2f(n?1)?f(n)(n?1,2,3,)，求数列{an}的通项公式 （2）若对于任意非零实数y，总有f(y)?2. 设有理数x1,x2满足|x1|?|x2|，判断f(x1)和f(x2)
的大小关系，并证明你的结论.
k3?110．对n?N*，，Tn??3，试求Sn?Tn的表达式. n?2，令Sn??241?k?kk?1k?1k?2
x22
y 11．如图, 设P为双曲线－y＝1上第一象限内的任一点, F1, F2为左右焦点,
3
→→→→
直线PF1, PF2分别交双曲线于M, N. 若PF1＝λ1F1M (λ1≠?1), PF2＝λ2F2N.
M 求λ1＋λ2的值及直线MN的斜率KMN的取值范围.
O F1
nknP F2 x
N 2012年全国高中数学联赛模拟卷(4)加试
(考试时间：150分钟 满分：180分)
姓名：_____________考试号：______________得分：____________
一、（本题满分40分）在△ABC中，a+c=3b, 内心为I，内切圆在AB，BC边上的切点分别为
D，E, 设K是D关于点I的对称点，L是E关于点I的对称点.求证：A，C，K，L四点共圆.
ADLINKMPBEC二、（本题满分40分）已知x0?1,x1?3,xn?1?6xn?xn?1?n?N??，求证数列{xn}中无完全平方数. 三、（本题满分50分）若p,q为质数，p?q，（1）求所有数组(p,q)，使得pqpq?qp?1
（2）证明：对任意数组(p,q)，必可找到正整数a，使得pqpaq?qap?a．
四、（本题满分50分） 过抛物线y2?2px(p为不等于2的素数)的焦点F,作与x轴不垂直的直线l
交抛物线于M,N两点,线段MN的垂直平分线交MN于P点,交x轴于Q点.
(1) 求PQ中点R的轨迹L的方程；
(2) 证明：L上有无穷多个整点, 但L上任意整点到原点的距离均不是整数.
2012年全国高中数学联赛模拟卷(4)答案
1．630 2．设2?a?1?t, 则2cos2t?a?3sin2t, 即3sin2t?cos2t?1?a,得cos(2t?)?,
3222????1而t?22x?x?21?(x?1)?(0,2],有2t??(,?4], 从而cos(2t?)?[?1,),
33332a?11由?1??, 得?1?a?2.
222x?x29?39V23．.
41?x24．可得A?{x1?x?3},设f(x)?2?a,g(x)?x?2(a?7)x?5要使A?B, 只需f(x),g(x) 在(1,3)上的图像均在x轴的下方, 则f(1)?0,f(3)?0,g(1)?0,g(3)?0, 由此可解得?4?a??1.
1111C9C3C99A32C9395．解析：?取值为0,1,2,3，且有P(??0)?1?，P(??1)?，， ?P(??2)??2344220C124A12A1231A3C39911. ?E??0??1??2??3??0.3 . P(??3)?49?444220240220A126．解析：x,y,z均为非负实数，?2xy?2yz?2zx?2x?y?0，
13?x2?y2?z2?x?2y?3z?2xy?2yz?2zx?2x?y?，
4?3?22?3?2213或x?y?z?（舍） ?(x?y?z)2?3(x?y?z)??0，?x?y?z?224?3?22?3?22所以，(x?y?z)min?，只需x?y?0,z?取等.
22227．设n?2005?m(m?0),则(m?n)(m?n)?2005?1?2005?5?401, 得 ?m?n?1?m?n?5?m?1003?m?203或,解得或?, ????m?n?2005?m?n?401?n?1002?n?1981002?10034?250?2,知它的个位数字是9, 由203198?2034?49?2,知它的个位数字也是9. 由100313322?0. ① 8．解析：令u?t，原方程化为(x?y)u?(3x?y)u?x?y1??(3x?y)2?4(x3?y3)??5x2?2xy?3y2?(5x?3y)(x?y).
x?y所给方程没有实根等价于方程①无实根或有实根但均为负根，所以，
?x?y,?x?y,?x?3,???x?3,?或?y?3, ?y?3,??(5x?3y)(x?y)?0,?(5x?3y)(x?y)?0????3x?y?0.点集N所成区域为图中阴影部分，其面积为
124181S?S?ABO?S?BCO???3??6?3?.
25259．解:（1）令x?1,y?0，?f?1??f?0??f?1??f?1?，又
f(1)?令x?0，得 f(0)f(y)?f(y)?f(?y)，即2f(y)?f(y)?f(?y)5，?f?0??2. 2 ?f(y)?f(?y)对任意的实数
y总成立， ?f?x?为偶函数.令x?y?1，得 f?1?f?1??f?2??f?0?， 2517175??f(2)?2，?f(2)?. ?a1?2f(2)?f(1)???6.
44225令x?n?1,y?1，得f(n?1)f(1)?f(n?2)?f(n)，?f(n?2)?f(n?1)?f(n).
2?5??an?1?2f?n?2??f?n?1??2?f?n?1??f?n???f?n?1??4f?n?1??2f?n??2?
?2[2f(n?1)?f(n)]?2an(n…1).
?{an}是以6为首项，以2为公比的等比数列. ∴an?6?2n?1.
（2）结论：f(x1)?f(x2). 证明：∵y?0时，f(y)?2,
∴f(x?y)?f(x?y)?f(x)f(y)?2f(x)，即f(x?y)?f(x)?f(x)?f(x?y).
∴令x?ky（k?N+），故?k?N+，总有f[(k?1)y]?f(ky)?f(ky)?f[(k?1)y]成立. 则f[(k?1)y]?f(ky)?f(ky)?f[(k?1)y]?f[(k?1)y]?f[(k?2)y]??f(y)?f(0)?0. ∴对于k?N+，总有f[(k?1)y]?f(ky)成立. ∴对于m,n?N，若n?m，则有f(ny)?f???n?1?y???+?f(my)成立.
q1q,|x2|?2，其中q1,q2是非负整数，p1,p2都是正整数， p1p2qppq1+则|x1|?12,|x2|?12，令y?，t?q1p2,s?p1q2，则t,s?N.
p1p2p1p2p1p2∵|x1|?|x2|，∴t?s，∴f(ty)?f(sy)，即f(|x1|)?f(|x2|).
∵x1,x2?Q，所以可设|x1|?10．解：Sn?n∵函数f(x)为偶函数，∴f(|x1|)?f(x1),f(|x2|)?f(x2).∴f(x1)?f(x2).
?1?kk?1nk2?k4 ?k ?22(k?k?1)(k?k?1)k?1nn2?n1?1111?1?????2?2?2， ???2??2k?k?1?2?1?1?1n?n?1?2(n?n?1)k?12?k?k?1nnnk3?1k?1nk2?k?1(k?1)(k2?k?1)Tn??3???? ?? 22k?2k?1k?2k?1k?2(k?1)?(k?1)?1k?2(k?1)(k?k?1)
1?2n2?n?12(n2?n?1)n2?n2(n2?n?1)1?2? ? 故SnTn???. 2n?(n?1)1?1?13n(n?1)2(n?n?1)3n(n?1)31??112?2?1?x0y011. 解: 设p(x0, y0), 因OF1?OP??1(OM?OF1), 所以
OM??1OF1??1OP?(??1,??1), 同理ON?(2?2?2?x0?2,?y0?2),
222??(2?2?1?x0)?3y0?3?1将M、N坐标代入双曲线得: ? 222??(2?2?2?x0)?3y0?3?222?(1)?4(1??1)?4x0(1??1)?3?1?3即?消去x0得: 22?(2)?4(1??2)?4x0(1??2)?3?2?34(1??1)2(1??2)?4(1??1)(1??2)2?3(?1?1)(1??2)?3(?2?1)(1??1)
即4(1??1)(1??2)(?1??2?2)?3(1??1)(1??2)(?1??2?2), 因(1??1)(1??2)?0 所以,4(?1??2?2)?3(?1??2?2), 解得?1??2??14.
将(1)－(2)得:4(?1??2)(?1??2?2)?4x0(?1??2?2)?3(?1??2)(?1??2)
将?122??2??14代入得: ?1??2??8x0与?1??2??14联立解得:
??1??4x0?7y0(?2??1)x0y0K??代入?MN2,
2(?2??1)?4?2?1?x0(?2??1)21?7x0??2?4x0?7x0y0x0y01x0y01x0133?????????3???由x02－3y02=3得KMN? 222221y021y0212121?7x07(3?x0)y0即斜率KMN的取值范围是(??,?3). 21ADL加试
一、证：设直线BI交?ABC的外接圆点P，易知P是AC的中点。 记AC的中为M，则PM?AC。设P在直线DI的射影为N
a?b?c?2b， 2则BD?BE?p?b?b?AC?2CM
0又?ABP??ACP,?BDI??CMP?90 所以?DBI∽?MCP，且相似比为2
熟知；PI?PC?PA。又?DBI∽?NPI， 所以DI?2IN，即N是IK的中点 进而PK?PI. 同理 PL?PI，
，C，K，I，L都在以P为圆心的同一个圆周上 所以A由于a?c?3b,则半周长p?
INKMPBECnn1?3?22?3?22?， 二．解：易得数列的通项公式为xn????2?nn1?22?2yn?1 3?22?3?22?，则yn?N?且易得xn设yn????22?42因此欲证xn为非完全平方数，只需证明x?2y?1…………（1）
????????无正整数解?x,y?，其中x?3，由（1）式知x为奇数，则8x?1，故y为偶数，
4??x2?1x2?1??2y12………………（2） 不妨设y?2y1y1?N，则22?x2?1x2?1??x2?1?,,1??1，由式（2）及有关数论知识得： 又????2??2?2?????x2?1?x2?122?2s?s???2?2?或?s,t?N,s,t互素， ?22?x?1?t2?x?1?2t2???2?222若为前者，则x?4s?1?3?mod4?，矛盾。
??
全国高中数学联赛模拟卷4一试二试附详细解答
