【高考理数】利用导数解决函数零点问题(解析版)

2024年高考数学（理）总复习：利用导数解决函数零点问题 题型一 利用导数讨论函数零点的个数 【题型要点解析】

对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：

(1)构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域； (2)求导数，得单调区间和极值点； (3)画出函数草图；

(4)数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解．1.已知f(x)＝ax3－3x2＋1(a>0)，定义

??f?x?，f?x?≥g?x?，

h(x)＝max{f(x)，g(x)}＝?

?g?x?，f?x?

(1)求函数f(x)的极值；

(2)若g(x)＝xf′(x)，且存在x∈[1,2]使h(x)＝f(x)，求实数a的取值范围； (3)若g(x)＝ln x，试讨论函数h(x)(x>0)的零点个数．

【解】 (1)∈函数f(x)＝ax3－3x2＋1，∈f′(x)＝3ax2－6x＝3x(ax－2)，令f′(x)＝0，得x1

2

＝0或x2＝，∈a>0，∈x1

a

x (－∞，0) 0 ?2??0,? ?a?－ 递减 2 a0 极小值 ?2??,??? ?a?＋ 递增 f′(x) f(x) ＋ 递增 0 极大值 ∈f(x)的极大值为f(0)＝1，极小值为f?4?2?812

?＝a2－a2＋1＝1－a2. ?a?(2)g(x)＝xf′(x)＝3ax3－6x2，∈存在x∈[1,2]，使h(x)＝f(x)，

1

∈f(x)≥g(x)在x∈[1,2]上有解，即ax3－3x2＋1≥3ax3－6x2在x∈[1,2]上有解， 13

即不等式2a≤3＋在x∈[1,2]上有解．

xx133x2＋1

设y＝3＋＝3(x∈[1,2])，

xxx－3x2－3∈y′＝<0对x∈[1,2]恒成立，

x413

∈y＝3＋在x∈[1,2]上单调递减，

xx13

∈当x＝1时，y＝3＋的最大值为4，

xx∈2a≤4，即a≤2.

4?2??＝1－a2， ?a?(3)由(1)知，f(x)在(0，＋∞)上的最小值为f?4

∈当1－2>0，即a>2时，f(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，∈h(x)＝max{f(x)，g(x)}在(0，＋

a∞)上无零点．

4

∈当1－2＝0，即a＝2时，f(x)min＝f(1)＝0.

a

又g(1)＝0，∈h(x)＝max{f(x)，g(x)}在(0，＋∞)上有一个零点． 4

∈当1－2<0，即0

a

设φ(x)＝f(x)－g(x)＝ax3－3x2＋1－ln x(0

∈φ′(x)＝3ax2－6x－<6x(x－1)－<0，

xx∈φ(x)在(0,1)上单调递减．

?1?a2e2－3

又φ(1)＝a－2<0，φ??＝3＋2>0，

e?e?e

∈存在唯一的x0∈?,1?，使得φ(x0)＝0，

2

?1??e?(∈)当00，∈h(x)在(0，x0)上有一个零点； (∈)当x>x0时，∈φ(x)＝f(x)－g(x)<φ(x0)＝0， ∈h(x)＝g(x)且h(x)为增函数，

∈g(1)＝0，∈h(x)在(x0，＋∞)上有一零点；

从而h(x)＝max{f(x)，g(x)}在(0，＋∞)上有两个零点，综上所述，当0

当a＝2时，h(x)有一个零点； 当a>2时，h(x)无零点．

题组训练一 利用导数讨论函数零点的个数 1

已知函数f(x)＝lnx－ax＋a－2，a∈R.

2(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)当a<0时，试判断g(x)＝xf(x)＋2的零点个数． 1a2－ax

【解析】 (1)f′(x)＝－＝(x>0)．

x22x

若a≤0，则f′(x)>0，∈函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；

22

若a>0，当00，函数f(x)单调递增，当x>时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，

aa综上，若a≤0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；

若a>0时，函数f(x)的单调递增区间为?0,??2??2?，单调递减区间为?????. a??a? 3