面积的最大值
x2y22
(2012·高考北京卷)已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的一个顶点为A (2，0)，离心率为，直线y＝k(x－1)与椭圆C
ab2交于不同的两点M，N.
(1)求椭圆C的方程； (2)当△AMN的面积为
21.（本小题满分14分）
10
时，求k的值． 3
x2y26已知椭圆方程为2?2?1(a?b?0)，它的一个顶点为M(0,1)，离心率e?．（1）求椭圆的方程；（2）
3ab3设直线l与椭圆交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．
2
x2y220．(2013课标全国Ⅱ，理20)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：2?2=1(a＞b＞0)右焦点的直线x?y?3?0ab1交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.
2(1)求M的方程；
(2)C，D为M上两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．
3
23．已知O为坐标原点，点A、B分别在x轴，y轴上运动，且|AB|＝8，动点P满足AP＝PB，设点P的轨迹为
5
曲线C，定点为M(4,0)，直线PM交曲线C于另外一点Q. (1)求曲线C的方程； (2)求△OPQ面积的最大值．
1x2y220.【2012高考真题浙江理21】(本小题满分15分)如图，椭圆C：2+2?1(a＞b＞0)的离心率为，其左焦点到点P(2，
2ab1)的距离为10．不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ) 求?ABP的面积取最大时直线l的方程．
x2y2224.【2012高考真题广东理20 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：2?2?1(a?b?0)的离心率e=，且
3ab椭圆C上的点到Q（0，2）的距离的最大值为3.
（1）求椭圆C的方程；
（2）在椭圆C上，是否存在点M（m,n）使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及相对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．
x2y29. (2008湖北文)已知双曲线C:2?2?1(a?0,b?0)的两个焦点为F:(?2,0),F:(2,0),点P(3,7)的曲线C上.
ab （Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）记O为坐标原点，过点Q (0,2)的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为22,求直线
l的方程
10. (2008湖北理)如图，在以点O为圆心，|AB|=4为直径的半圆ADB中，OD⊥AB，P是半圆弧上一点， ∠POB=30°，曲线C是满足||MA|-|MB||为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P. （Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程； （Ⅱ）设过点D的直线l与曲线C相交于不同的两点E、F. 若△OEF的面积不小于．．．2．2，求直线l斜率的取值范围.
18．(2008全国Ⅱ卷文、理)设椭圆中心在坐标原点，A(2，，0)B(0，1)是它的两个顶点，直线y?kx(k?0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．
y （Ⅰ）若ED?6DF，求k的值；
B F （Ⅱ）求四边形AEBF面积的最大值．
D x O A
E
3
23．已知O为坐标原点，点A、B分别在x轴，y轴上运动，且|AB|＝8，动点P满足AP＝PB，设点P的轨迹为
5
曲线C，定点为M(4,0)，直线PM交曲线C于另外一点Q. (1)求曲线C的方程； (2)求△OPQ面积的最大值．
22、解：(1)设A(a,0)，B(0，b)，P(x，y)， 则AP＝(x－a，y)，PB＝(－x，b－y)，
?x－a＝－5x，
3
∵AP＝PB，∴?53
y＝?5(b－y).
223
88
∴a＝x，b＝y.
53
x2y2x2y2
又|AB|＝a＋b＝8，∴＋＝1. ∴曲线C的方程为＋＝1.
259259
x2y2
(2)由(1)可知，M(4,0)为椭圆＋＝1的右焦点， 设直线PM方程为x＝my＋4，
259xy??25＋9＝1，由?消去x得(9m2＋25)y2＋72my－81＝0， ??x＝my＋4，
2
2
(72m)2＋4×(9m2＋25)×8190m2＋1
∴|yP－yQ|＝＝. 9m2＋259m2＋25
90m2＋120m2＋120m2＋1120
∴S△OPQ＝|OM||yP－yQ|＝2×＝＝＝ 2216169m＋2522522m＋m＋1＋m＋1＋
999m2＋1201516
≤＝， 当m2＋1＝， 2829m＋13
715
即m＝±时，△OPQ的面积取得最大值为，此时直线方程为3x±7y－12＝0.
32
1x2y220.【2012高考真题浙江理21】(本小题满分15分)如图，椭圆C：2+2?1(a＞b＞0)的离心率为，其左焦点到点P(2，
2ab1)的距离为10．不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ) 求?ABP的面积取最大时直线l的方程． 【答案】(Ⅰ)由题：e?c1?； (1) a2
左焦点(﹣c，0)到点P(2，1)的距离为：d?(2?c)2?12?10． (2) 由(1) (2)可解得：a2?4，b2?3，c2?1． x2y2∴所求椭圆C的方程为：+?1．
43(Ⅱ)易得直线OP的方程：y＝x，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，R(x0，y0)．其中y0＝x0． ∵A，B在椭圆上， ?xA2yA2+?1??43∴?22?xB+yB?1?3?4yA?yB3x?xB32x3???A???0??．
xA?xB4yA?yB42y02321212?kAB?设直线AB的方程为l：y＝﹣x?m(m≠0)，
?x2y2+?1??43代入椭圆：??y＝-3x?m??2?3x2?3mx?m2?3?0．
显然??(3m)2?4?3(m2?3)?3(12?m2)?0． ∴﹣12＜m＜12且m≠0．
m2?3由上又有：xA?xB＝m，yA?yB＝．
3∴|AB|＝1?kAB|xA?xB|＝1?kAB(xA?xB)?4xAxB＝1?kAB?3?1?m1?kAB?m?21?kAB2m2． 4?3∵点P(2，1)到直线l的距离表示为：d?11m2∴S?ABP＝d|AB|＝|m＋2|4?，
223．
1m2当|m＋2|＝4?，即m＝﹣3 或m＝0(舍去)时，(S?ABP)max＝．
23此时直线l的方程y＝﹣x?321． 224.【2012高考真题广东理20】（本小题满分14分）
x2y22在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：2?2?1(a?b?0)的离心率e=，且椭圆C上的点到Q（0，2）的距
3ab离的最大值为3.
（1）求椭圆C的方程；
（2）在椭圆C上，是否存在点M（m,n）使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及相对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．
圆锥曲线关于面积的最大值
