一题多解之利用基本不等式求最值
用基本不等式求函数的最大(小)值是高中数学的一个重点,三个条件必须同时具备，才能应用，即“一正，二定，三相等”.在具体的题目中“正数”条件往往易从题设中获得，“相等”条件也易验证确定，而要获得“定值”条件却常常被设计为一个难点，它需要一定的灵活性和变形技巧.因此,“定值”条件决定着不等式应用的可行性.这是解题成败的关键。 例、已知正数a,b满足
11??3，求a?b的取值范围。 ab11??3将a?b中的b用a表示，然后ab思路点拨：一种思路是根据划归思想，二元转化为一元，即利用用基本不等式求范围；另一种思路是对建立a?b的不等式求解. 解析：方法一：由
11??3变形，获得a?b与ab的关系，然后利用解不等式消去abab111a??3得a?b?3ab，?b?，由于a>0,b>0，可得a?，于是
3ab3a?1 a?b?a?a111121124?a???a????2(a?)???，
39(a?1)339(a?1)333a?139(a?1)333241 当a?1?，即a?时取等号，?a?b的取值范围是[,??)
3339(a?1)3
????(3t)2?4?3t?0?2?3t1 令g(a)?3a?3ta?t，则g(a)?3a2?3ta?t? ????2?33?1g()?0??3
解得t?44， 所以a?b的取值范围是[,??)
33 运用基本不等式求最值的技巧：
1、含有多个变量的条件最值问题，一种方法是减少变量的个数，将问题转化为只含有一 个变量的函数的最值问题进行解决；另一种方法是采用代换的方法，对代数式变形后， 在运用基本不等式。 2、妙用“1”的代换求代数式的最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通
常的解决办法是变量替换或常值“1”的替换，即由已知条件得到某个式子的值为常 数，然后将欲求最值的代数式乘上常数，再对代数式进行变形整理，从而可利用基本 不等式求最值. 针对性练习： 1.已知a＞0,b＞0,
13??1,则a+2b的最小值为( ) ab (B)23 (C)7?23
(D)14
(A)7?26
解析：选A.Qa?2b??a?2b?(?)?1?1a3b3a2b??6?7?26,∴a+2b的最小值为7?26. bax2?2x?22.若-4＜x＜1，则f(x)?( )
2x?2 (A)有最小值1 (B)有最大值1 (C)有最小值-1 (D)有最大值-1
3.已知0＜x＜1，则y?lgx?
4的最大值为_________. lgx 解析：∵0＜x＜1，∴lgx＜0，-lgx＞0. ??y???lgx??(?4)?24?4，即y≤-4. lgx 当且仅当?lgx??41，即x?时等号成立，故ymax=-4. lgx1004.已知函数y?x?2(x＞?2).
x2?x?11的取值范围； (2)当x为何值时，y取何最大值？ y (1)求
14?的最小值是( ) ab79 (A) (B)4 (C) (D)5
225.已知a>0,b>0，a+b=2,则 解析：选C.由已知可得
14a?b1412ab52ab9???(?)????2≥?2??，当且仅当 ab2ab2b2a2b2a21494时取等号，即?的最小值是.
ab2316.若a>0,b>0,且a+b=1，则ab+的最小值为( )
ab17 (A)2 (B)4 (C) (D)22
4 a?，b?23
7.已知f(x)=log2(x-2)，若实数m,n满足f(m)+f(2n)=3，则m+n的最小值为( ) (A)5
(B)7
(C)8
(D)9
解析：选B.由已知得log2(m-2)+log2(2n-2)=3，即log2［(m-2)(2n-2)］=3，
?m?2,4??1. 因此?n?1,于是n?m?2?(m?2)(2n?2)?8.? 所以m?n?m?444?1?m?2??3?2(m?2)g?3?7. m?2m?2m?2 当且仅当m?2?
4,即m=4时等号成立，此时m+n取最小值7. m?2
(完整版)一题多解之利用基本不等式求最值
