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习题精解
9-1.在气垫导轨上质量为m的物体由两个轻弹簧分别固定在气垫导轨的两端，如图9-1所示，试证明物体m的左右运动为简谐振动，并求其振动周期。设弹簧的劲度系数为k1和k2. 解：取物体在平衡位置为坐标原点，则物体在任意位置时受的力为 F??(k1?k2)x 根据牛顿第二定律有
d2x F??(k1?k2)x?ma?m2
dt 化简得
d2xk1?k2x?0 2?dtmk1?k2d2x2令??则2??x?0所以物体做简谐振动，其周期
dtm2
T?2???2?m k1?k29-2 如图9.2所示在电场强度为E的匀强电场中，放置一电偶极矩P=ql的电偶极子，+q和-q相距l，且l不变。若有一外界扰动使这对电荷偏过一微小角度，扰动消息后，这对电荷会以垂直与电场并通过l的中心点o的直线为轴来回摆动。试证明这种摆动是近似的简谐振动，并求其振动周期。设电荷的质量皆为m，重力忽略不计。
解 取逆时针的力矩方向为正方向，当电偶极子在如图9.2所示位置时，电偶极子所受力矩为
M??qE电偶极子对中心O点的转动惯量为
llsin??qEsin???qElsin? 222?l??l?1J?m???m???ml2
?2??2?212d2?M??qElsin??J??ml?2
2dt2由转动定律知
化简得
d2?2qE?sin??0 2dtml2当角度很小时有sin??0，若令??2qE，则上式变为 ml1
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d2???2sin??0 2dt所以电偶极子的微小摆动是简谐振动。而且其周期为
T?2???2?ml 2qE9-3 汽车的质量一般支承在固定与轴承的若干根弹簧上，成为一倒置的弹簧振子。汽车为开动时，上下为自由振动的频率应保持在v?1.3Hz 附近，与人的步行频率接近，才能使乘客没有不适之感。问汽车正常载重时，每根弹簧松弛状态下压缩了多少长度？ 解 汽车正常载重时的质量为m，振子总劲度系数为k，则振动的周期为T?2?m，频率k为v?11?T2?k m正常载重时弹簧的压缩量为
mgT2gx??2g?22?0.15(m)
k4?4?v9-4 一根质量为m，长为l的均匀细棒，一端悬挂在水平轴O点，如图9.3所示。开始棒在
，
平衡位置OO处于平衡状态。将棒拉开微小角度后放手，棒将在重力矩作用下，绕O点在竖直平面内来回摆动。此装置时最简单的物理摆。
若不计棒与轴的摩擦力和空气的阻力，棒将摆动不止。试证明摆角很小的情况下，细棒的摆动为简谐振动，并求其振动周期。
解 设在某一时刻，细棒偏离铅直线的角位移为?，并规定细棒在平衡位置向右时?为正，在向左时为负，则力矩为
1M??mglsin?
212ml,根据转动定律有 3负号表示力矩方向与角位移方向相反，细棒对O点转动惯量为J?
112d2?M??mglsin??J??ml 223dt化简得
d2?3g?sin??0
dt22l当?很小时有sin???，若令??23g则上式变为 2l 2
d2???2sin??0 2dt百度文库 - 让每个人平等地提升自我
所以细棒的摆动为简谐振动，其周期为
T?2???2?2l 3g?29-5 一放置在水平光滑桌面上的弹簧振子，振幅A?2?10m，周期T?0.50s，当t=0时，
（1）物体在正方向的端点； （2）物体在负方向的端点；
(3) 物体在平衡位置，向负方向运动; (4）物体在平衡位置，向负方向运动; (5)物体在x?1.0?10m处向负方向运动
(6)物体在x??1.0?10m处向正方向运动。求以上各种情况的振动方程。 解 由题意知A?2.0?10m,T?0.5s,???2?2?22??4?s?1 T（1）由初始条件得初想为是?1?0,所以振动方程为
x?2?10?2cos4?(m)
（2）由初始条件得初想为是?2??，所以振动方程为
x?2?10?2cos(4?t??)(m)
（3）由初始条件得初想为是?3?
?2，所以振动方程为
x?2?10?2cos(4?t?)(m)
23?（4）由初始条件得初想为是?4?，所以振动方程为
23? x?2?10?2cos(4?t?)(m)
2x01?10?2?5????0.5（5）因为cos?5?，所以，取（因为速度小于零），??,??55A2?10?2333所以振动方程为
?x?2?10?2cos(4?t?)(m)
3?x0?1?10?22?4?4????0.5??,??（6）cos?6?，所以，取（因为速度大于零），66?2A2?10333所以振动方程为
3
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x?2?10?2cos(4?t?4?)(m) 39-6一质点沿x轴做简谐振动，振幅为0.12m，周期为2s，当t=0时，质点的位置在0.06m处，且向x轴正方向运动，求； （1）质点振动的运动方程；
（2）t=0.5s时，质点的位置、速度、加速度；
（3）质点x=-0.06m处，且向x轴负方向运动，在回到平衡位置所需最短的时间。 解 （1）由题意可知：A?0.12m,??零），所以质点的运动方程为
2????,x0?Acos?0可求得?0??（初速度为T3???x?0.12cos??t??
3??（2）
???xt?0.5?0.12cos?0.5????0.1(m)
3??任意时刻的速度为
???v??0.12cos??t??
3??所以
???vt?0.5??0.12cos?0.5?????0.19(m?s?1)
3?????a??0.12?2cos??t??
3??任意时刻的加速度为
所以
???at?0.5??0.12?2cos?0.5?????1.0?m?s?2?
3??（3）根据题意画旋转矢量图如图9.4所示。
由图可知，质点在x=-0.06m处，且向x轴负方向运动，再回到平衡位置相位的变化为
325????????
236???5?0.833?s? 6所以
?t??9-7 一弹簧悬挂0.01kg砝码时伸长8cm，现在这根弹簧下悬挂0.025kg的物体，使它作自由振动。请建立坐标系，分析对下述3种情况列出初始条件，求出振幅和初相位，最后建立振动方程。
（1）开始时，使物体从平衡位置向下移动4cm后松手；
（2）开始时，物体在平衡位置，给以向上的初速度，使其振动； 4
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（3）把物体从平衡位置向下拉动4cm后，又给以向上21cm?s的初速度，同时开始计时。 解 （1）取物体处在平衡位置为坐标原点，向下为x轴正方向，建立如图9.5所示坐标系。 系统振动的圆频率为
?1??k?mm1gx10.01?g0.08??7?s?1? m0.025根据题意，初始条件为
?x0?4cm ??1?v0?0cm?s2v0振幅A?x?20?2?4cm，初相位?1?0
振动方程为
x?4cos7t(m)
（2）根据题意，初始条件为
?x0?0cm ??1v??21cm?s?02v0振幅A?x?20?2?3cm，初相位?2??2
振动方程为
x?3cos(7t?)(m)
2?（3）根据题意，初始条件为
?x0?4cm ??1?v0??21cm?s2v0振幅A?x?20?2?5cm，tan?3??v0?0.75，得?3?0.64 x0?振动方程为
x?5cos(7t?0.64)(m)
?29-8 质量为0.1kg的物体，以振幅A?1.0?10m做简谐振动，其最大加速度为
4.0m?s?2，求：（1）振动周期；（2）通过平衡位置时的动能；（3）总能量。
解 （1）简谐振动的物体的最大加速度为
amax?A?2
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大学物理第二版课后习题答案第九章(供参考)
