2010年全国高中数学联赛四川省预赛
2010年全国高中数学联赛四川赛区预赛由四川省数学会普及工作委员会及四川省数学竞赛委员会主办，由四川省数学竞赛委员会组织及负责命题，命题负责人：柳斌. 预赛命题范围以现行高中数学教学大纲为准，主要考察学生对基础知识和基本技能的掌握情况，以及综合和灵活运用的能力. 试题相当于高考数学试题的中、难度水平，有利于广大学生拓宽视野，促进素质教育. 学生自愿报名参加. 全省在同一时间由各市、州统一组织竞赛(不在县级以下单位设置考场). 试卷答题时间120分钟，试题总分140分，其中包括：6道选择题（每道5分，共30分）、6道填空题（每道5分，共30分）；4道解答题（每道20分，共80分）. 命题难度大体相当于普通高考试题. 预赛时间定在5月1 6日(星期日)下午14:30~16:30.
竞赛完后先由各市、州集中评卷，然后将其中10％的优秀试卷上报四川省数学竞赛委员会(原则上每个参赛学校均应有试卷上报)，由四川省数学竞赛委员会组织专人复查. 从中评出一等奖300名、二等奖500名、三等奖700名，由四川省数学竞赛委员会颁发获奖证书. 经四川省数学竞赛委员会研究决定，为确保全国高中数学联赛的安全保密工作，自2007年起，四川省只在成都市设立一个考场，全省参赛人数控制在1000人左右，参赛学生为预赛的一、二等奖获得者及个别优秀学生(初赛人数较多的市、州可酌情增加决赛名额). 考场设在成都七中，个别边远地区的优秀考生经济确有困难者提出申请，经批准可由省数学竟赛委员会给予适当资助.
试 题
一、选择题（本题满分40分，每小题5分） 1、已知p：1?sin2??44 和q：sin??cos??．则p是q的（ ）. 33A、充分但不必要条件 B、必要但不充分条件
C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
2、在5件产品中有4件正品、1件次品．从中任取2件，记其中含正品的个数个数为随机变量?，则?的数学期望E?是（ ）.
6789 B、 C、 D、 55553、设正三棱锥S?ABC的底面边长为3，侧棱长为2，则侧棱SA与底面ABC所成的
A、
角的大小是（ ）.
A、30 B、45 C、60 D、arctan2
???x4?(k2?2k?4)x2?44、已知函数f(x)?的最小值是0，则非零实数k的值是（ ）.
x4?2x2?4A、?4 B、?2 C、2 D、4
5、长方体ABCD?A1B1C1D1的八个顶点都在球O的球面上，其中AA1?1，
AB?22，AD?33，则经过B、C两点的球面距离是（ ）.
A、
2?4? B、 C、2? D、4? 336、对任意实数m，过函数f(x)?x2?mx?1图象上的点(2,f(2))的切线恒过一定点
P，则点P的坐标为（ ）.
A、(0,3) B、 (0,?3) C、(,0) D、(?323,0) 2x2y27、设A1、A2为椭圆2?2?1(a?b?0)的左右顶点，若在椭圆上存在异于A1、A2
ab的点P，使得PO?PA2?0，其中O为坐标原点，则椭圆的离心率e的取值范围是（ ）.
A、(0,1122) B、 (0,) C、(,1) D、(,1)
222228、记F(x,y)?(x?y)?(x32?),(y?0)，则F(x,y)的最小值是（ ）. 3yA、
121618 B、 C、 D、4
555
二、填空题（本题满分20分，每小题5分）
9、f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)?f(1?x)，则f(2010)? ． 10、实数x，y满足3|x?1|?2|y?1|?6，则2x?3y的最大值是 ． 11、在数列{an}中，a1?1，当n?2时，an,Sn,Sn?1成等比数列，则2limn2an? ．
n??12、集合的容量是指集合中元素的和．则满足条件“A?{1,2,3,4,5,6,7}，且若a?A时，必有8?a?A”的所有非空集合A的容量的总和是 ．（用具体数字作答）
三、解答题（本题满分80分，每小题20分）
13、已知函数f(x)?sin(x??4)?2sin(x??4)?4cos2x?3cos(x?3?)． 4（1）试判断函数f(x)的奇偶性，并给出证明； （2）求f(x)在[
14、已知F为抛物线y2?4x的焦点，M点的坐标为(4,0)，过点F作斜率为k1的直线与抛物线交于A、B两点，延长AM、BM交抛物线于C、D两点，设直线CD的斜率为k2．
（1）求
?2,?]上的最小值与最大值．
k1的值； k2（2）求直线AB与直线CD夹角θ的取值范围．
15、已知函数f(x)?x3?mx2?x?1，其中m为实数． （1）求函数f(x)的单调区间；
（2）若对一切的实数x，有f?(x)?|x|?求实数m的取值范围．
16、已知Sn是数列{an}的前n项的和，对任意的正整数n，都有(1?b)Sn??ban?4成立，其中b?0．
（1）求数列{an}的通项公式； （2）设cn?
n7成立，其中f?(x)为f(x)的导函数． 4an? (n?N)，若|cn|?2，求实数b的取值范围． n4
解 答
1、C 提示：因为1?sin2??的充要条件．故选C．
12C4C482、C 提示：数学期望是：1?2?2?2?．故选C.
C5C55(sin??cos?)2?sin??cos??4，故p是q33、A 提示：设顶点S在底面?ABC的射影是H，则H为?ABC的外心．从而
AH?23?3??3，于是可得?SAH?30?．故选A． 322x242x?4?4x4、B 提示：f(x)?1?(k?2k?6)4，因为，故2x?2x?4x210?4? .
x?2x2?46当k?2k?6?0时，fmin?1，不合题意； 当k?2k?6?0时，
221fmax?1,fmin?1?(k2?2k?6)，
6由条件知1?12(k?2k?6)?0，解得k??2或0（舍去）．故选B. 611?(22)2?(33)2?3，在?OBC中5、C 提示：球O的半径R?212?OB?OC?3，BC?AD?33，则cos?BOC??，从而?BOC?．
231所以，经过B、C两点的球面距离是2??3??2?．故选C．
36、 B 提示：因为f?(x)?2x?m，故f?(2)?4?m．于是过(2,f(2))的切线方程
是：y?(5?2m)?(4?m)(x?2)，即y?(m?4)x?3，因此切线方程恒过(0,?3)．故选B．
7、D 提示：由题设知∠OPA2=90°，设P(x,y)(x>0)，以OA2为直径的圆方程为
a2a2b2222(x?)?y?，与椭圆方程联立得(1?2)x?ax?b?0．由题设知，要求此方程
24a在(0, a )上有实根．由此得0?ab22(1?2)a?a化简得e2?12,1)．，所以e的取值范围为(故
22选D．
8、C 提示：设动点P(x,?)与Q(y,)，则F(x,y)?PQ，点P的轨迹为直线
x33y2x33y??，点Q的轨迹为双曲线y?，双曲线上的任一点(x0,)到直线x?3y?0的距
3xx0离
x0?3?d?103x0?6， 10当x0??3时等号成立．故F(x,y)的最小值为
18．故选C． 5 9、0 提示：由条件知f(0)?0，f(x?1)?f(?x)??f(x)，于是f(x?2)?f(x)，
)?f(0)?0．故填0． 即f(x)是以2为周期的周期函数．所以，f(201010、4 提示：由3|x?1|?2|y?1|?6确定的图形是以四边形ABCD及其内部，其中
A(?1,4)、B(1,1)、C(?1,?2)、D(?3,1)．由线性规划知识知，2x?3y的最大值是4，
当x??1,y??2时可取到．故填4．
11、?1 提示：由条件知当n?2时， 2112Sn?an(Sn?)?(Sn?Sn?1)(Sn?)，
22从而
11??2，于是 SnSn?111??2(n?1)?2n?1， SnS1所以Sn?1．于是 2n?1an?Sn?Sn?1?所以，
112???. 2n?12n?3(2n?1)(2n?3)2n2limnan?lim??lim?n??n??(2n?1)(2n?3)n??21??．
132(2?)(2?)nn2故填?1． 212、224 提示：先找出满足条件的单元素和二元素的集合有：A1?{4}，A2?{1,7}，
2010年全国高中数学联赛四川省预赛试题及答案
