9. 如图，⊙M与x轴交于A、B两点，其坐标分别为A(?3，0)，直径CD⊥x轴于0)、B(1，N，直线CE切⊙M于点C，直线FG切⊙M于点F，交CE于G，已知点G的横坐标为3.
(1) 若抛物线y??x2?2x?m经过A、B、D三点，求m的值及点D的坐标.
(2) 求直线DF的解析式.
(3) 是否存在过点G的直线，使它与（1）中抛物线的两个交点的横坐标之和等于4？若存在，请求出满足条件的直线的解析式；若不存在，请说明理由.
[解] (1) ∵抛物线过A、B两点，
m ∴(?3)?1?，m=3.
?1 ∴抛物线为y??x2?2x?3.
又抛物线过点D，由圆的对称性知点D为抛物线的顶点.
∴D点坐标为(?1，4).
(2) 由题意知：AB=4.
∵CD⊥x轴，∴NA=NB=2. ∴ON=1. 由相交弦定理得：NA·NB=ND·NC， ∴NC×4=2×2. ∴NC=1. ∴C点坐标为(?1，?1).
设直线DF交CE于P，连结CF，则∠CFP=90°. ∴∠2+∠3=∠1+∠4=90°. ∵GC、GF是切线， ∴GC=GF. ∴∠3=∠4.
D ∴∠1=∠2.
∴GF=GP. ∴GC=GP. 可得CP=8. M ∴P点坐标为(7，?1)
设直线DF的解析式为y?kx?b N M N A C （第27题图）
O B y D F G E x
y F 3 2 O 4 x 1 ?k??5???k?b?4?8则? 解得?
7k?b??1??b?27??8A C B G P E 527∴直线DF的解析式为：y??x?
88(3) 假设存在过点G的直线为y?k1x?b1， 则3k1?b1??1，∴b1??3k1?1.
?y?k1x?3k1?12x?(2?k1)x?4?3k1?0 由方程组? 得2?y??x?2x?3由题意得?2?k1?4，∴k1??6. 当k1??6时，???40?0， ∴方程无实数根，方程组无实数解. ∴满足条件的直线不存在.
10.已知二次函数y?12，并与x轴交于点B（－1，0）x?bx?c的图象经过点A（－3，6）
2和点C，顶点为P.
（1）求这个二次函数的解析式，并在下面的坐标系中画出该二次函数的图象； （2）设D为线段OC上的一点，满足∠DPC＝∠BAC，求点D的坐标；
（3）在x轴上是否存在一点M，使以M为圆心的圆与AC、PC所在的直线及y轴都相切？如果存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
[解] （1）解：∵二次函数y?x2?bx?c的图象过点A（－3，6），B（－1，0）
?9?3b?c?6?b??1???2得? 解得?3
1c?????b?c?0?2??2∴这个二次函数的解析式为：y?y 12123x?x? 22O x 由解析式可求P（1，－2），C（3，0）
画出二次函数的图像
（2）解法一：易证：∠ACB＝∠PCD＝45°
又已知：∠DPC＝∠BAC ∴△DPC∽△BAC
∴
DCPC 易求AC?62,PC?22,BC?4 ?BCAC445?5? ∴OD?3?? ∴D?,0? 333?3?∴DC? 解法二：过A作AE⊥x轴，垂足为E.
设抛物线的对称轴交x轴于F. 亦可证△AEB∽△PFD、
∴
PEEB?. 易求：AE＝6，EB＝2，PF＝2 PFFD225?5? ∴OD??1? ∴D?,0? 333?3?∴FD?（3）存在.
（1°）过M作MH⊥AC，MG⊥PC垂足分别为H、G，设AC交y轴于S，CP的延长
线交y轴于T
∵△SCT是等腰直角三角形，M是△SCT的内切圆圆心， ∴MG＝MH＝OM 又∵MC?2OM且OM＋MC＝OC
∴2OM?OM?3,得OM?32?3 ∴M32?3,0
（2°）在x轴的负半轴上，存在一点M′ 同理OM′＋OC＝M′C，OM??OC???2OM?
得OM??32?3 ∴M′?32?3,0 即在x轴上存在满足条件的两个点.
y A ??6 5 4 3 2 M′ 1 E B -3 -2 -1 0 -1 -2 T H C F M 3 1 D2G P x S 11.在平面直角坐标系中，A（－1，0），B（3，0）.
（1）若抛物线过A，B两点，且与y轴交于点（0，－3），求此抛物线的顶点坐标； （2）如图，小敏发现所有过A，B两点的抛物线如果与y轴负半轴交于点C，M为抛物线的顶点，那么△ACM与△ACB的面积比不变，请你求出这个比值；
（3）若对称轴是AB的中垂线l的抛物线与x轴交于点E，F，与y轴交于点C，过C作CP∥x轴交l于点P，M为此抛物线的顶点.若四边形PEMF是有一个内角为60°的菱形，求次抛物线的解析式. y [解] （1）y?x2?2x?3，顶点坐标为（1，－4）.
（2）由题意，设y＝a（x＋1）（x－3），即y＝ax2－2ax－3a，
A∴ A（－1，0），B（3，0），C（0，－3a），M（1，－4a）， ∴ S△ACB＝
O B x 1×4×?3a＝6a， 2C M 而a＞0， ∴ S△ACB＝6A、 作MD⊥x轴于D，
又S△ACM＝S△ACO ＋SOCMD －S△AMD＝
111·1·3a＋（3a＋4a）－·2·4a＝a， 222∴ S△ACM：S△ACB＝1：6.
（3）①当抛物线开口向上时，设y＝a（x－1）2＋k，即y＝ax2－2ax＋a＋k， 有菱形可知a?k＝k，a＋k＞0，k＜0， ∴ k＝?a， 2a， ∴ EF?2. 26， 6∴ y＝ax2－2ax＋
记l与x轴交点为D，
若∠PEM＝60°，则∠FEM＝30°，MD＝DE·tan30°＝
∴ k＝－
66，a＝， 631266x2?6x?. 3366， 2∴ 抛物线的解析式为y?若∠PEM＝120°，则∠FEM＝60°，MD＝DE·tan60°＝
∴ k＝－
6，a＝6， 26x2?26x?6. 2∴ 抛物线的解析式为y?②当抛物线开口向下时，同理可得
y??126626x2?6x?，y??6x?26x?. 3362
k
12.已知：O是坐标原点，P（m，n）(m＞0)是函数y ＝ (k＞0)上的点，过点P作直线
x
PA⊥OP于P，直线PA与x轴的正半轴交于点A（a，0）(a＞m). 设△OPA的面积为n4
s，且s＝1＋.
4
（1）当n＝1时，求点A的坐标； （2）若OP＝AP，求k的值；
n4
(3 ) 设n是小于20的整数，且k≠，求OP2的最小值.
2
[解] 过点P作PQ⊥x轴于Q，则PQ＝n，OQ＝m
5
(1) 当n＝1时， s＝
42s5∴ a＝＝
n2
(2) 解1： ∵ OP＝AP PA⊥OP ∴△OPA是等腰直角三角形 a
∴ m＝n＝
2n41
∴ 1＋＝·an
42
即n4－4n2＋4＝0 ∴ k2－4k＋4＝0 ∴ k＝2
解2：∵ OP＝AP PA⊥OP
∴△OPA是等腰直角三角形 ∴ m＝n
设△OPQ的面积为s1 s
则：s1＝ 211n4∴ ·mn＝(1＋) 224
即：n4－4n2＋4＝0 ∴ k2－4k＋4＝0 ∴ k＝2
(3) 解1：∵ PA⊥OP， PQ⊥OA
∴ △OPQ∽△OAP 设：△OPQ的面积为s1，则 s1PO2＝ sAO21k2
2
kn＋22n
即： ＝ n4n421＋4 (1＋)
44
n2
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