高考数学一轮复习 2.2函数的单调性精品学案
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一、考纲点击
1．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义 2．会运用函数图象理解和研究函数的单调性、最值。 二、热点、难点提示
1．利用函数的单调性求单调区间、比较大小、解不等式、求变量的取值是历年高考考查的热点； 2．利用函数的单调性求最值，及利用它们求参数取值范围问题是重点，也是难点； 3．题型以选择题和填空题为主，与导数知识点交汇时则以解答题的形式出现。 【考纲知识梳理】
一、函数的单调性 （1）单调函数的定义 定义 增函数 减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2，改变量⊿x= x2- x1>0 当x1< x2时，都有f(x1)
自左向右看图象是下降的 若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫做f(x)的单调区间。
注：①单调区间是定义域的子区间
②函数的单调性反映在图象上是在某一区间上是上升的或下降的；而最大（小）值反映在图象上为其最高（低）点的纵坐标的值。
二、函数的最值
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前提 条件 设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 ① 对于任意x∈I，都有f(x)≤M ① 对于任意x∈I，都有f(x)≥M ② 存在x∈I，使得f(x)=M ② 存在x∈I，使得f(x)=M M为最小值 结论 M为最大值 注：函数的最小值与最大值分别是函数值域中的最小元素与最大元素；任何一个函数，其值域必定存在，但其最值不一定存在。
相关提示：①函数的单调区间与该函数定义域间的关系
函数的单调区间是该函数定义域的子集；函数的定义域不一定是函数的单调区间。 ②一个函数在定义域内的单调性与在某几个子区间上的单调性的关系
如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增（减）函数，不能说这个函数在定义域上是增（减）函数，如函数
③相同单调性函数的和、差、积、商函数的单调性
两个增（减）函数的和函数仍是增（减）函数，但两个增函数的差、积、商的函数单调性不确定，同样两个减函数的差、积、商的函数单调性也不确定。
④奇函数在对称区间上的单调性
奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反。因此，具有奇偶性的函数的单调性的研究，只需研究对称区间上的单调性。
⑤求函数单调性解题策略
第一， 看函数的类型，如果是基本函数，常常记住函数的单调区间； 第二， 如果是复杂函数，常常利用导数进行研究；
第三， 如果是抽象函数，常常利用定义解决，或者借助图象，或者用具体函数代替处理。 【要点名师透析】 一、函数单调性的判定
1、用定义证明函数单调性的一般步骤
，即：
（1）取值：即设x1、x2是该区间内的任意两个值，且x1< x2.
（2）作差：即f(x2) –f(x1)(或f(x1)-f(x2))，并通过通分、配方、因式分解等方法，向有利于判断差的符号的方向变形。
（3）定号：根据给定的区间和x2- x1符号，确定差f(x2) –f(x1)(或f(x1)-f(x2))的符号。当符号不
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确定时，可以进行分类讨论。
（4）判断：根据定义得出结论。 2、利用导数的基本步骤是：
2、求函数的单调性或单调区间的方法
（1）利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间； （2）定义法：先求定义域，再利用单调性定义；
（3）图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间。
（4）导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间。
注：函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制。例如函数y=1/x在(??,0)和(0,??)内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即???,0?调减区间为(??,0)和(0,??)，不能用“∪”
2．例题解析
〖例1〗已知函数f(x)?|x?ax?b|(x?R,b?0)，给出以下三个条件: (1) 存在x0?R，使得f(?x0)?f(x0)； (2) f(3)?f(0)成立；
(3) f(x)在区间[?a,??)上是增函数.
若f(x)同时满足条件 和 （填入两个条件的编号），则f(x)的一个可能的解析式为
2?0,???内单调递减，只能分开写，即函数的单
f(x)? .
解析：满足条件(1)(2)时,y?x?3x?1等；满足条件(1)(3)时,y?x?2x?1等；满足条件(2)(3)时,y?x?3x?9等 〖例2〗求函数
的单调区间
222思路分析：该函数整体来说是一个二次根式，首先要考虑被开方数大于等于零，在此基础上求被开方函数的单调性即可．
解析：设y=u，u=x2+x-6 ．
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