第一讲椭圆中常用结论及解法技巧
【知识要点】一．椭圆三大定义定义1．到两定点距离之和为定值的点的轨迹是椭圆．几何性质：椭圆上任一点到两焦点的距离之和为定值．定义2．到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为定值（小于1）的点的轨迹是椭圆．几何性质：椭圆上任一点到左（右）焦点的距离与到左（右）准线的距离之比为离心率e．定义3．到两个定点的斜率之积为定值（小于0且不等于?1）的点的轨迹是椭圆．b2几何性质：椭圆上任一点到左右（上下）两顶点的斜率之积为?2．a二．椭圆经典结论汇总x2y21．AB是椭圆2?2?1?a?b?0?的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，则abkOM?kABb2x0b2??2，即kAB??2．aay0x2y2等价形式：A1,A2是椭圆2?2?1?a?b?0?上关于原点对称的任意两点，B是椭圆上其ab它任意一点，直线A1B,A2B的斜率存在，则kA1B?kA2Bb2??2．a
x2y22．椭圆2?2?1?a?b?0?的左右焦点分别为F1,F2，点P为椭圆上任意一点?F1PF2??ab2b2?则（1）|PF1||PF2|?；（2）椭圆的焦点角形的面积为S?FPF?b2tan．1?cos?212x2y23．过椭圆2?2?1?a?b?0?上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于abB,C两点，则直线BC有定向且kBCb2x0（常数）．?2ay0x2y24．P为椭圆2?2?1?a?b?0?上任一点，F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则ab2a?|AF2|?|PA|?|PF1|?2a?|AF1|，当且仅当A,F2,P三点共线时，等号成立．x2y25．已知椭圆2?2?1?a?b?0?，O为坐标原点，P,Q为椭圆上两动点，且OP?OQ，ab11114a2b222（1）（2）|OP|?|OQ|的最大值为2；（3）S?OPQ的???；|OP|2|OQ|2a2b2a?b2a2b2
最小值是2．2a?b1x2y26．椭圆2?2?1?a?b?0?的焦半径公式：ab|MF1|?a?ex0,|MF2|?a?ex0,(F1(?c,0),F2(c,0),M(x0,y0))
x2y27．若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1内，则被P0所平分的中点弦的方程是abx0xy0yx0y0???．2222ababx2y28．若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1内，则过P0的弦中点的轨迹方程是ab22x2y2x0xy0y
?2?2?2．2abab
xxyyx2y29．若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1上，则过P0的椭圆的切线方程是02?02?1．ababx2y210．若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1外，则过P0作椭圆的两条切线切点为P1,P2，则切点弦abP1P2的直线方程是x0xy0y
?2?1．a2bx2y211．设椭圆2?2?1?a?b?0?的两个焦点为F1,F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一ab点，在?PF1F2中，记?F1PF2??，则有?PF1F2??，?F1F2P??，sin?c
??e．sin??sin?a
x2y212．若P为椭圆2?2?1?a?b?0?上异于长轴端点的任一点，?PF1F2??,F1,F2是焦点，aba?c???PF2F1??，则?tantan．a?c22x2y213．设A,B是椭圆2?2?1?a?b?0?的长轴两端点，P是椭圆上的一点，?PAB??，ab?PBA??，?BPA??，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有2a2b22ab2|cos?|2
(1)|PA|?2；(2)tan?tan??1?e；(3)S?PAB?2cot?．222
b?aa?ccos?14．椭圆焦三角形中，内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e．x2y215．椭圆2?2?1?a?b?0?的左右焦点分别为F1,F2，点P为椭圆上任意一点abe??F1PF2??，椭圆的焦点角形的内心为I，yI?yP，|PI|cos?a?c．1?e216．点P处的切线PT平分?PF1F2在点P处的外角．x2y217．若椭圆2?2?1?a?b?0?的左、右焦点分别为F1,F2，左准线为l，则当0?e?2?1
ab2时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项．x2y218．过椭圆2?2?1?a?b?0?的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的ab
|PF|e
垂直平分线交x轴于P，则?．|MN|2x2y219．已知椭圆2?2?1?a?b?0?，A,B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴ab
a2?b2a2?b2
相交于点P(x0,0)，则?．?x0?
aa
x2y220．椭圆2?2?1?a?b?0?的两个顶点为A1??a,0?,A2?a,0?，与y轴平行的直线交椭圆ab
x2y2于P1,P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是2?2?1．ab
【例题解析】x2y2【例1】已知F1,F2分别是椭圆2?2?1?a?b?0?的左、右焦点，P为椭圆上一点，ab
且PF1?(OF1?OP)?0（O为坐标原点），若|PF1|?2|PF2|，则椭圆的离心率为（A．6?3
B．?????）6?32
C．6?5D．6?52
【例2】已知定圆C1:(x?5)2?y2?1，C2:(x?5)2?y2?225，定点M(4,1)，动圆C满足与C1外切且与C2内切，则|CM|?|CC1|的最大值为（3）A．16?2B．16?2C．16?3D．16?3
x2y2【例3】过原点的一条直线与椭圆2?2?1?a?b?0?交于A,B两点，以线段AB为直ab
??径的圆过该椭圆的右焦点F2，若?ABF2?[,]，则该椭圆离心率的取值范围为（）124
A．[
2,1)2
B．[
26,]23
C．[
6,1)3
D．[
23,]22
x2y2【例4】已知椭圆2?2?1?a?b?0?上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，ab??若AF?BF，设?ABF??，且??[,]，则该椭圆离心率e的取值范围为（）64
4A．[
2
,3?1]2
B．[
2,1)2
C．[
23,]22
D．[
36,]33
3x2y2【例5】已知F1,F2是椭圆??1的左右焦点，点M的坐标为(?1,)，则?F1MF2的243
角平分线所在直线的斜率为(A．?2
B．?1
)C．?3
D．?2
x2y2【例6】已知椭圆：2?2?1?a?b?0?的左右焦点分别为F1,F2，P为椭圆上的一点，abPF2与椭圆交于Q。若?PF1Q的内切圆与线段PF1在其中点处相切，与PQ切于F2，则椭5
第一讲 椭圆中常用的结论及解法技巧(教师版)
