高考数学一轮复习 （基础知识+高频考点+解题训练）基本不等
式教学案
第四节
基本不等式
[知识能否忆起]
一、基本不等式ab≤
a＋b2
1．基本不等式成立的条件：a>0，b>0. 2．等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． 二、几个重要的不等式
baa2＋b2≥2ab(a，b∈R)；＋≥2(a，b同号)．
ab?a＋b?2(a，b∈R)；?a＋b?2≤a＋b(a，b∈R)． ab≤???2?2?2???
三、算术平均数与几何平均数 设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为
22
a＋b2
，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为：
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
四、利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则：
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p.(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是.(简记：和定积最
4大)
[小题能否全取]
1
1．(教材习题改编)函数y＝x＋(x＞0)的值域为( )
p2
xA．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B．(0，＋∞) C．[2，＋∞) D．(2，＋∞)
1
1
解析：选C ∵x＞0，∴y＝x＋≥2，当且仅当x＝1时取等号．
x2．已知m>0，n>0，且mn＝81，则m＋n的最小值为( ) A．18 B．36 C．81 D．243
解析：选A ∵m>0，n>0，∴m＋n≥2mn＝18.当且仅当m＝n＝9时，等号成立． 3．(教材习题改编)已知0 11931 解析：选B 由x(3－3x)＝×3x(3－3x)≤×＝，当且仅当3x＝3－3x，即x＝时 33442等号成立． 4．若x>1，则x＋解析：x＋ 4 的最小值为________． x－1 44＝x－1＋＋1≥4＋1＝5. x－1x－1 4 ，即x＝3时等号成立． x－1 当且仅当x－1＝答案：5 25 5．已知x＞0，y＞0，lg x＋lg y＝1，则z＝＋的最小值为________． xy解析：由已知条件lg x＋lg y＝1，可得xy＝10. 25 则＋≥2 xy10?25?＝2，故?＋?min＝2，当且仅当2y＝5x时取等号．又xy＝10，即x＝ xy?xy? 2，y＝5时等号成立． 答案：2 1.在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 2．对于公式a＋b≥2ab，ab≤? ?a＋b?2，要弄清它们的作用和使用条件及内在联系， ??2? 2 2 两个公式也体现了ab和a＋b的转化关系． 3．运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a＋b≥2ab逆用就是ab≤ a2＋b2a＋b2 ；2 ≥ab(a，b>0)逆用就是ab≤? ?a＋b?2(a， b>0)等．还要注意“添、??2? 2 拆项”技巧和公式等号成立的条件等． 利用基本不等式求最值 典题导入 4 [例1] (1)已知x＜0，则f(x)＝2＋＋x的最大值为________． x(2)(2012·浙江高考)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是( ) A.2428B. 55 C．5 D．6 [自主解答] (1)∵x＜0，∴－x＞0， 4?4 ∴f(x)＝2＋＋x＝2－?＋ x?－x－x??. ? 44 ∵－＋(－x)≥24＝4，当且仅当－x＝，即x＝－2时等号成立． x－x∴f(x)＝2－? ?4＋－x?≤2－4＝－2， ? ?－x? ∴f(x)的最大值为－2. 1?13? (2)∵x＞0，y＞0，由x＋3y＝5xy得?＋?＝1. 5?yx? 12y?131?3x12y?1311?13?1?3x∴3x＋4y＝·(3x＋4y)·?＋?＝?＋4＋9＋?＝＋?＋?≥＋ x?55?yx?555?yx?5?y×2 3x12y·＝5(当且仅当x＝2y时取等号)，∴3x＋4y的最小值为5. yx[答案] (1)－2 (2)C 本例(2)条件不变，求xy的最小值． 解：∵x＞0，y＞0，则5xy＝x＋3y≥2x·3y， 12 ∴xy≥，当且仅当x＝3y时取等号． 2512 ∴xy的最小值为. 25 3 由题悟法 用基本不等式求函数的最值，关键在于将函数变形为两项和或积的形式，然后用基本不等式求出最值．在求条件最值时，一种方法是消元，转化为函数最值；另一种方法是将要求最值的表达式变形，然后用基本不等式将要求最值的表达式放缩为一个定值，但无论哪种方法在用基本不等式解题时都必须验证等号成立的条件． 以题试法 1．(1)当x＞0时，则f(x)＝ 2x的最大值为________． x＋1 2 (2)(2011·天津高考)已知log2a＋log2b≥1，则3＋9的最小值为________． (3)已知x＞0，y＞0，xy＝x＋2y，若xy≥m－2恒成立，则实数m的最大值是________． 解析：(1)∵x＞0，∴f(x)＝ 2x22 ＝≤＝1， x＋112 x＋ 2 abx1 当且仅当x＝，即x＝1时取等号． x(2)由log2a＋log2b≥1得log2(ab)≥1， 即ab≥2，∴3＋9＝3＋3≥2×3 aba2ba＋2b2 (当且仅当3＝3，即a＝2b时取等号)． a2b又∵a＋2b≥22ab≥4(当且仅当a＝2b时取等号)， ∴3＋9≥2×3＝18. 即当a＝2b时，3＋9有最小值18. (3)由x＞0，y＞0，xy＝x＋2y≥22xy，得xy≥8，于是由m－2≤xy恒成立，得m－2≤8，即m≤10.故m的最大值为10. 答案：(1)1 (2)18 (3)10 基本不等式的实际应用 典题导入 [例2] (2012·江苏高考)如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于122 坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－(1＋k)x(k＞ 20 0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． (1)求炮的最大射程； abab2 4 (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标 a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由． 122 [自主解答] (1)令y＝0，得kx－(1＋k)x＝0，由实际意义和题设条件知x＞0，k20＞0， 20k2024 故x＝≤＝10，当且仅当k＝1时取等号． 2＝ 1＋k12 k＋ k所以炮的最大射程为10千米． 122 (2)因为a＞0，所以炮弹可击中目标?存在k＞0，使3.2＝ka－(1＋k)a成立 20?关于k的方程ak－20ak＋a＋64＝0有正根 22 2 ?判别式Δ＝(－20a)－4a(a＋64)≥0 2 2 2 ?a≤6. 所以当a不超过6千米时，可击中目标． 由题悟法 利用基本不等式求解实际应用题的方法 (1)问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、销售、税收、原材料”等，题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解． (2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解.以题试法 2．(2012·福州质检)某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件． (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ (2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革12 新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入(x－600)万元作为技改费用，投入50 61 万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a5至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价． 解：(1)设每件定价为t元， 依题意，有?8－2 ? ? t－25 1 ×0.2??t≥25×8， ? 整理得t－65t＋1 000≤0，解得25≤t≤40. 5
高考数学一轮复习 (基础知识+高频考点+解题训练)基本不等式教学案
