吉林省东北师范大学附属中学2015届高考数学一轮复习 空间
角和距离导学案 文
一、知识梳理
1．异面直线a,b所成的角：
（1）定义：过空间上一点P（注意取图形中的特殊点）作a1//a、b1//b，则a1与b1所成的锐角或直角就叫做异面直线a,b所成的角范围。
（2）范围：(0,?2
]（3）求法： 平移法：
2．直线与平面所成的角：
（1）定义：若直线是平面的斜线，其求法是：找出直线PA在平面?内的射影AO，则锐角?PAO就是直线PA与平面?所成的角。若a//?或a??，则直线a与平面?所成的角为0；若a??，则直线a与平面?所成的角为（2）范围：[0,?]2
（3）求法： 定义法； 3．二面角：
（1）、定义法：在棱上任取一点，过这点在两个面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。（注意二面角的五个条件）
（3）、作棱的垂面法:自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角的两条射线所成的角就是二面角的平面角。
（4）、投影法：利用s投影面=s被投影面cos?这个公式对于斜面三角形，任意多边形都成立，是求二面角的好方法。尤其对无棱问题
?； 2 1
4．空间的距离
点到平面的距离求法：
（1）直接法：过点P作平面?的垂线，垂足A，则PA是点P到平面?的距离； （2）等体积法：利用三棱锥的体积相等，求点到平面的距离。 （3）转移法：
图1 图2
解法1：用公式
当直线AB平面??A，AB与?所成的角为?1，l是?内的一条直线，l与AB在?内的射影AB'所成的角为?2，则异面直线l与AB所成的角?满足
cos??cos?1cos?2。以此为据求解， 由题意，知SA?平面ABC，AC?BC，由
三垂线定理，知SC?BC，所以BC?平面SAC。因为AC?2，BC?13，SB?29，由勾
AC1，股定理，得 AB?17，SA?23，SC?4。在Rt?SAC中，在Rt?ACB中，cos?SCA??SC2 2
cos?CAB?17 AC2。设SC与AB所成角为?，则，cos??cos?SCA?cos?CAB??17AB17解法2：平移
过点C作CD//BA，过点A作BC的平行线交CD于D，连结SD，则?SCD是异面
直线SC与AB所成的角，又四边形ABCD是平行四边形。由勾股定理，得：DC?AB?17，SA?23，SD?5。 SADCB 2?SC?DC?1717在?SCD中，由余弦定理，得：cos?SCD?SC2?DC2?SD2。
点评：若不垂直，可经过如下几个步骤求解：（1）恰当选点，作两条异面直线的平行线，构造平面角?；（2）证明这个角?（或其补角）就是异面直线所成角；（3）解三角形（常用余弦定理），求出所构造角?的度数 [题型二] 线面角
（1）．直接法 ：
平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。 例1 （ 如图1 ）四面体ABCS中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB的中点，求（1）BC与平面SAB所成的角。
（2）SC与平面ABC所成的角。
解:（1） ∵SC⊥SB,SC⊥SA,
CHSMAB图1
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∴SC⊥平面SAB 故 SB是斜线BC 在平面SAB上的射影， ∴∠SBC是直线BC与平面SAB所成的角为60°。 （2） 连结SM,CM，则SM⊥AB,
又∵SC⊥AB,∴AB⊥平面SCM, ∴面ABC⊥面SCM
过S作SH⊥CM于H, 则SH⊥平面ABC ∴CH即为 SC 在面ABC内的射影。 ∠SCH 为SC与平面ABC所成的角。 sin ∠SCH=SH／SC
∴SC与平面ABC所成的角的正弦值为√7／7 （“垂线”是相对的，SC是面 SAB的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。） （2）. 利用公式sinθ=h／ι
其中θ是斜线与平面所成的角， h是 垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。
例2 （ 如图2） 长方体ABCD-A1B1C1D1 , AB=3 ,BC=2, A1A= 4 ，求AB与面 AB1C1D 所成的角。
解：设点 B 到AB1C1D的距离为h,
∵VB﹣AB1C1=VA﹣BB1C1∴1／3 S△AB1C1·h= 1／3 S△BB1C1·AB，易得h=12／5 设AB 与 面 A B1C1D 所成的角为θ,则sinθ=h／AB=4／5
DA32BC4D1A1HC1B1图2
∴AB与面AB1C1D 所成的角为arcsin 4／5
例3（如图4） 已知直线OA,OB,OC 两两所成的角为60°, ，求直线OA 与 面OBC所成的角的余弦值。 解：∵∠AOB=∠AOC ∴ OA 在面OBC 内的射影在∠ABOC 的平分线OD上，则
OCBD4 α∠AOD即为OA与面OBC所成的角，可知
∠DOC=30° ,cos∠AOC=cos∠AOD·cos∠DOC ∴cos60°=cos∠AOD·cos30°
∴ cos∠AOD= √3／3 ∴ OA 与 面OBC所成的角的余弦值为√3／3。
图4
[题型探究三]：二面角： 例4．（2009重庆卷文）（本小题满分13分，（Ⅰ）问7分，（Ⅱ）问6分）
如题（18）图，在五面体ABCDEF中，?BAD?AB∥DC，四边形ABFE为平行四边形，FA?平面
F?2z，CD?AD?2，
ABCD，FC?3,ED?7．求：
二面角F?AD?E的平面角的正切值．
解法一:
由己知，FA?平面ABCD，得FA?AD，又由
xBAEGCDy2面角F?AD?E的平面角，记为?.
uuur|EF|ur?2在Rt△AED中, AE?ED2?AD2?7?4?3,tan?FAE?uu|FA|由YABCD得,FEPBA,从而?AFE?中, FE??BAD??，知AD?AB，故AD?平面ABFE?DA?AE，所以，?FAE为二
?2在Rt△AEFAE2?AF2?3?1?2 ,故tan??FE?2所以二面角FAF?AD?E的平面角的正切值为2.
点评：线面距离往往转化成点面距离来处理，最后可能转化为空间几何体的体积求得，体积法不用得到垂线。 [题型探究四]：空间距离
三、方法提升： 1．转化思想：
① 线线平行?线面平行?面面平行,线?线?线?面?面?面 ② 将异面直线所成的角,直线与平面所成的角转化为平面角,然后解三角形
2．求角的三个步骤：一猜,二证,三算．猜是关键,在作线面角时,利用空间图形的平
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